Calcule:
integral-2^3(x^2+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a integração de uma função polinomial. Para resolver isso, vamos precisar expandir o polinômio e integrar termo por termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão (x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1 . Para isso, usamos a identidade . Aplicando isso, temos:

Passo 3

Agora que expandimos a expressão, a integral fica:
integral-2^3 (x^4 + 2x^2 + 1) dx
Podemos separar essa integral em três integrais mais simples:
integral-2^3 x^4 dx + 2integral-2^3 x^2 dx + integral-2^3 1 dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Para , a antiderivada é .
  2. Para , a antiderivada é .
  3. Para , a antiderivada é .

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração a cada antiderivada.

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
  1. 2435 - (-325) = 243 + 325 = 2755 = 55 e 18 - (-163) = 18 + 163 = 543 + 163 = 703 , então:
  1. e , então:

Passo 7

Agora, somamos todos os resultados:
55 + 703 + 5
Para somar, vamos converter 55 e 5 para ter denominador 3:
55 = 1653 e 5 = 153
Então:
1653 + 703 + 153 = 2503

Resposta

O valor da integral é .

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