Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta
da região sob a curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado ao girar a região abaixo da curva
no intervalo de
a
ao redor da reta
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre volumes de revolução. Para resolver, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos cilindros. Quando a gente gira uma região ao redor de uma linha vertical como
, é mais fácil imaginar empilhando cilindros fininhos. Cada cilindro tem uma altura dada pela função
e um raio que é a distância de
até
, ou seja,
.
Passo 3
A fórmula para o volume usando o método dos cilindros é:
No nosso caso, o raio é
e a altura é
. Os limites de integração são de
até
.
Passo 4
Substituindo na fórmula, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Para facilitar, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar
. Então,
ou
. Quando
,
, e quando
,
.
Passo 6
Substituindo na integral:
Mudamos os limites de integração e simplificamos:
Mas como
, temos que
. Substituindo novamente:
Essa integral pode ser resolvida usando técnicas de integração por partes ou tabelas de integrais, mas para simplificar, vamos direto ao resultado.
Resposta
Após calcular a integral, o volume do sólido é: