Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = x * raiz(1 - x^2), 0 <= x <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado ao girar a região abaixo da curva no intervalo de a ao redor da reta . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre volumes de revolução. Para resolver, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método dos cilindros. Quando a gente gira uma região ao redor de uma linha vertical como , é mais fácil imaginar empilhando cilindros fininhos. Cada cilindro tem uma altura dada pela função e um raio que é a distância de até , ou seja, .

Passo 3

A fórmula para o volume usando o método dos cilindros é:
No nosso caso, o raio é e a altura é . Os limites de integração são de até .

Passo 4

Substituindo na fórmula, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
Para facilitar, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar . Então, ou . Quando , , e quando , .

Passo 6

Substituindo na integral:
Mudamos os limites de integração e simplificamos:
Mas como , temos que . Substituindo novamente:
Essa integral pode ser resolvida usando técnicas de integração por partes ou tabelas de integrais, mas para simplificar, vamos direto ao resultado.

Resposta

Após calcular a integral, o volume do sólido é:

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