Use o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares da forma:
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral desse sistema. Esse método envolve encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular que leva em conta o termo não homogêneo.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada ao sistema:
Como a matriz dos coeficientes é diagonal, as equações desacoplam e podemos resolver cada uma separadamente:
As soluções gerais para essas equações são:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para o sistema completo:
Para isso, usamos o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em supor uma forma para a solução particular com coeficientes desconhecidos e determinar esses coeficientes substituindo na equação original.
Passo 4
Vamos tratar cada componente do sistema separadamente.
Para a primeira equação (
):
O termo não homogêneo é
, que é um polinômio de grau 1. Então, supomos uma solução particular da forma:
Para a segunda equação (
):
O termo não homogêneo é
. Como a solução da homogênea não contém
, supomos uma solução particular da forma:
onde
,
e
são coeficientes a serem determinados.
Passo 5
Agora, vamos derivar as soluções particulares e substituir nas equações originais para encontrar os coeficientes.
Para
:
Substituindo na primeira equação:
Rearranjando:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais:
Para
:
Substituindo na segunda equação:
Rearranjando:
Passo 6
Agora que encontramos os valores dos coeficientes, podemos escrever a solução particular completa:
Passo 7
A solução geral do sistema é a soma da solução da homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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sempre estão em
, para quaisquer valores de
e
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