Use o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema:
X' = (1 0; 0 2) X + C(t, e^(4t), r)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares da forma:
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral desse sistema. Esse método envolve encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular que leva em conta o termo não homogêneo.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada ao sistema:
Como a matriz dos coeficientes é diagonal, as equações desacoplam e podemos resolver cada uma separadamente:
As soluções gerais para essas equações são:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o sistema completo:
Para isso, usamos o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em supor uma forma para a solução particular com coeficientes desconhecidos e determinar esses coeficientes substituindo na equação original.

Passo 4

Vamos tratar cada componente do sistema separadamente.
Para a primeira equação ( ):
O termo não homogêneo é , que é um polinômio de grau 1. Então, supomos uma solução particular da forma:
Para a segunda equação ( ):
O termo não homogêneo é . Como a solução da homogênea não contém , supomos uma solução particular da forma:
onde , e são coeficientes a serem determinados.

Passo 5

Agora, vamos derivar as soluções particulares e substituir nas equações originais para encontrar os coeficientes.
Para :
Substituindo na primeira equação:
Rearranjando:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais:
Para :
Substituindo na segunda equação:
Rearranjando:

Passo 6

Agora que encontramos os valores dos coeficientes, podemos escrever a solução particular completa:

Passo 7

A solução geral do sistema é a soma da solução da homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes arbitrárias.

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