Use o método dos operadores para encontrar a solução do sistema:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método dos operadores. A questão envolve operadores diferenciais, ou seja, derivadas em relação a
. Precisamos encontrar as funções
e
que satisfazem as duas equações dadas. Para isso, vamos manipular as equações usando álgebra de operadores e resolver para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar o manuseio dos operadores. As equações são:
Aqui,
representa o operador diferencial, ou seja,
.
Passo 3
Vamos representar o sistema em forma matricial para facilitar a resolução. Podemos escrever:
[
]
Isso fica mais claro para aplicar métodos de álgebra linear com operadores diferenciais.
Passo 4
Para resolver o sistema, precisamos encontrar a inversa da matriz de operadores. Vamos chamar a matriz de
:
O determinante de
é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a matriz inversa
. Sabemos que:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, aplicamos a inversa de
no lado direito do sistema para encontrar
e
:
Fazendo a multiplicação:
Passo 7
Vamos simplificar as expressões. Lembrando que
e
:
Passo 8
Agora, precisamos resolver as frações com o denominador
. Vamos fatorar:
Então:
Passo 9
Para simplificar ainda mais, vamos decompor as frações em termos de operadores:
Passo 10
Agora, interpretamos os termos usando integrais, já que
corresponde a integrar e
corresponde a integrar com fator de decaimento
.
Após aplicar as integrações necessárias, obtemos:
Resposta
A solução do sistema é:
Exercícios relacionados
Os vetores da forma (
sempre estão em
, para quaisquer valores de
e
números reais.
Use o método de variação de parâmetros para resolver o sistema:
Use o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema:
Use o método da transformada de Laplace para resolver o sistema: