Use o método dos operadores para encontrar a solução do sistema:
{ 2D x + (D - 1) y = t; D x + D y = t^2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método dos operadores. A questão envolve operadores diferenciais, ou seja, derivadas em relação a . Precisamos encontrar as funções e que satisfazem as duas equações dadas. Para isso, vamos manipular as equações usando álgebra de operadores e resolver para e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar o manuseio dos operadores. As equações são:
Aqui, representa o operador diferencial, ou seja, .

Passo 3

Vamos representar o sistema em forma matricial para facilitar a resolução. Podemos escrever:

[


]
Isso fica mais claro para aplicar métodos de álgebra linear com operadores diferenciais.

Passo 4

Para resolver o sistema, precisamos encontrar a inversa da matriz de operadores. Vamos chamar a matriz de :
O determinante de é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a matriz inversa . Sabemos que:
Substituindo :

Passo 6

Agora, aplicamos a inversa de no lado direito do sistema para encontrar e :
Fazendo a multiplicação:

Passo 7

Vamos simplificar as expressões. Lembrando que e :

Passo 8

Agora, precisamos resolver as frações com o denominador . Vamos fatorar:
Então:

Passo 9

Para simplificar ainda mais, vamos decompor as frações em termos de operadores:

Passo 10

Agora, interpretamos os termos usando integrais, já que corresponde a integrar e corresponde a integrar com fator de decaimento .
Após aplicar as integrações necessárias, obtemos:

Resposta

A solução do sistema é:

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