Use o método da transformada de Laplace para resolver o sistema:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações diferenciais que envolve funções e . Nosso objetivo é resolver esse sistema usando o método da transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar das condições iniciais e , além de saber como aplicar a transformada de Laplace em derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada equação do sistema. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada é , onde é a transformada de .
Para a primeira equação :
Substituindo :
çã
Passo 3
Agora, vamos transformar a segunda equação :
Substituindo :
çã
Passo 4
Temos agora um sistema de duas equações algébricas com duas incógnitas e :
Equação 1:
Equação 2:
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da Equação 1, podemos expressar :
Passo 5
Substituímos na Equação 2:
Vamos simplificar:
Organizando os termos com :
Passo 6
Agora, isolamos :
Para facilitar a inversão da transformada, vamos simplificar a fração:
Rearranjando:
Reconhecendo :
Passo 7
Vamos agora simplificar :
Podemos fazer uma decomposição em frações parciais para facilitar a inversão, mas para simplificar, reconhecemos que esse termo pode ser decomposto da seguinte forma:
Isso permite aplicar a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente.
Passo 8
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Para , temos .
Para , reconhecemos que . Aqui, :
Para , usamos a expansão em frações parciais:
Resolvendo, encontramos , , . Assim:
Simplificando:
Passo 9
Juntando todos os termos, temos:
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos encontrar usando a Equação 1:
Substituindo :
Simplificando:
Fazendo uma decomposição semelhante à de , aplicamos a transformada inversa e encontramos: