Use o método da transformada de Laplace para resolver o sistema:
{x' + y = t, 4x + y' = 0, x(0) = 1, y(0) = 2}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações diferenciais que envolve funções e . Nosso objetivo é resolver esse sistema usando o método da transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar das condições iniciais e , além de saber como aplicar a transformada de Laplace em derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada equação do sistema. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada é , onde é a transformada de .
Para a primeira equação :
Substituindo :
çã

Passo 3

Agora, vamos transformar a segunda equação :
Substituindo :
çã

Passo 4

Temos agora um sistema de duas equações algébricas com duas incógnitas e :
Equação 1:
Equação 2:
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da Equação 1, podemos expressar :

Passo 5

Substituímos na Equação 2:
Vamos simplificar:
Organizando os termos com :

Passo 6

Agora, isolamos :
Para facilitar a inversão da transformada, vamos simplificar a fração:
Rearranjando:
Reconhecendo :

Passo 7

Vamos agora simplificar :
Podemos fazer uma decomposição em frações parciais para facilitar a inversão, mas para simplificar, reconhecemos que esse termo pode ser decomposto da seguinte forma:
Isso permite aplicar a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente.

Passo 8

Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Para , temos .
Para , reconhecemos que . Aqui, :
Para , usamos a expansão em frações parciais:
Resolvendo, encontramos , , . Assim:
Simplificando:

Passo 9

Juntando todos os termos, temos:
Simplificando:

Passo 10

Agora, vamos encontrar usando a Equação 1:
Substituindo :
Simplificando:
Fazendo uma decomposição semelhante à de , aplicamos a transformada inversa e encontramos:

Resposta

As soluções do sistema são
e

Exercícios relacionados

Use o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema:
X' = (1 0; 0 2) X + C(t, e^(4t), r)
Use o método dos operadores para encontrar a solução do sistema:
{ 2D x + (D - 1) y = t; D x + D y = t^2 }
O fato de sólidos e líquidos se deformarem elasticamente implica na possibilidade de propagação de perturbações ondulatórias nesses meios.
Toda deformação elástica implica que um corpo deformado pela ação de uma tensão externa volta à sua configuração original.