Use o método discutido em Equações Homogêneas e resolva as equações abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método das Equações Homogêneas. A equação que temos é:
Para isso, precisamos identificar que tipo de equação estamos lidando e aplicar as técnicas apropriadas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos como uma função de .
Vendo os termos:
  • tem grau 2
  • tem grau 2
  • tem grau 2
Como todos os termos são de grau 2, a equação é homogênea.

Passo 3

Como a equação é homogênea, podemos fazer a substituição , ou seja, . Agora, precisamos encontrar em termos de e :
Substituindo e na equação original:
Simplificando os termos:
Observamos que os termos e se cancelam, restando:

Passo 4

Vamos simplificar dividindo toda a equação por (assumindo ):
Rearranjando os termos para separar as variáveis:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Agora, temos uma equação que podemos integrar dos dois lados. Vamos integrar:
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Lembrando que fizemos a substituição , vamos substituir de volta:
Multiplicando ambos os lados por para simplificar:
Podemos reorganizar para deixar em uma forma mais limpa:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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.
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