Use o método discutido em Equações Homogêneas e resolva as equações abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método das Equações Homogêneas. A equação que temos é:
Para isso, precisamos identificar que tipo de equação estamos lidando e aplicar as técnicas apropriadas para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos
como uma função de
.
Vendo os termos:
-
tem grau 2 -
tem grau 2 -
tem grau 2
Como todos os termos são de grau 2, a equação é homogênea.
Passo 3
Como a equação é homogênea, podemos fazer a substituição
, ou seja,
. Agora, precisamos encontrar
em termos de
e
:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Observamos que os termos
e
se cancelam, restando:
Passo 4
Vamos simplificar dividindo toda a equação por
(assumindo
):
Rearranjando os termos para separar as variáveis:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, temos uma equação que podemos integrar dos dois lados. Vamos integrar:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Lembrando que fizemos a substituição
, vamos substituir de volta:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Podemos reorganizar para deixar em uma forma mais limpa:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.