Use o Teorema (11.15) para determinar se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.
(2) 3 + 3/4 + ... + 3/4^(n-1) + ...

Passo 1

Estamos vendo uma série geométrica: . Vamos usar o Teorema (11.15) que nos ajuda a saber se essa série converge ou diverge e, se convergir, a encontrar a soma dela. Para isso, precisamos identificar o primeiro termo e a razão dessa série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da série. Aqui, o primeiro termo é 3.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a razão da série. A razão é o fator pelo qual multiplicamos um termo para chegar ao próximo. Observando os termos, temos dividido por 3, que dá .

Passo 4

O Teorema (11.15) nos diz que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1. Vamos verificar isso:
Como , a série converge.

Passo 5

Como a série converge, podemos calcular a soma usando a fórmula:
Onde e .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:

Resposta

A série geométrica converge e sua soma é 4.

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