Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o método do Exemplo 1 para achar três coisas sobre a série . Aqui, estamos lidando com séries infinitas e queremos encontrar os três primeiros termos da soma parcial (, , ), uma expressão geral para a soma parcial () e, por fim, verificar se a série converge e qual é a soma dela se convergir. Vamos precisar conhecer conceitos de séries, soma parcial e critério de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular , e .
A soma parcial é simplesmente a soma dos primeiros termos da série. Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma expressão geral para . Para isso, precisamos somar os primeiros termos da série:
Para simplificar essa soma, podemos fatorar o denominador:
Então, a fração pode ser decomposta em frações parciais:
Resolvendo para e :
Para encontrar e , podemos substituir valores de que simplificam a equação:
Se :
Se :
Então, temos:
Portanto, a soma parcial fica:
Isso pode ser simplificado como:
E ainda, podemos notar que é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam, deixando apenas alguns termos iniciais e finais.
Passo 4
Vamos verificar agora se a série converge e, se sim, qual é a soma dela.
Para analisar a convergência, observamos que:
Podemos comparar com a série , que sabemos ser convergente (É a série de p com ).
Como:
E converge (já que é uma constante vezes uma série p com ), então, pela comparação, nossa série também converge.
Para encontrar a soma, observamos que a série é telescópica, e após somar os termos, restam apenas os termos iniciais e o limite quando tende ao infinito.