Use o método do Exemplo 1 para achar (a) S1, S2 e S3; (b) Sn; © a soma da série, se for convergente.
(4) sumn=1^infty -19 n^2+3 n-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o método do Exemplo 1 para achar três coisas sobre a série . Aqui, estamos lidando com séries infinitas e queremos encontrar os três primeiros termos da soma parcial ( , , ), uma expressão geral para a soma parcial ( ) e, por fim, verificar se a série converge e qual é a soma dela se convergir. Vamos precisar conhecer conceitos de séries, soma parcial e critério de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular S1 = -19(1)^2 + 3(1) - 2 = -19 + 3 - 2 = -110 = -0,1 , S2 = S1 + -19(2)^2 + 3(2) - 2 = -0,1 + -136 + 6 - 2 = -0,1 + -140 = -0,1 - 0,025 = -0,125 e S3 = S2 + -19(3)^2 + 3(3) - 2 = -0,125 + -181 + 9 - 2 = -0,125 + -188 approx -0,125 - 0,01136 approx -0,13636 .
A soma parcial é simplesmente a soma dos primeiros termos da série. Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma expressão geral para Sn = sumk=1^n -19k^2 + 3k - 2 . Para isso, precisamos somar os primeiros 9k^2 + 3k - 2 = (3k - 1)(3k + 2) termos da série:
-1(3k - 1)(3k + 2) = A3k - 1 + B3k + 2
Para simplificar essa soma, podemos fatorar o denominador:
-1 = A(3k + 2) + B(3k - 1)
Então, a fração pode ser decomposta em frações parciais:
-1 = A(3(13) + 2) + B(0) Rightarrow -1 = A(1 + 2) Rightarrow -1 = 3A Rightarrow A = -13
Resolvendo para -1 = A(0) + B(3(-23) - 1) Rightarrow -1 = B(-2 -1) Rightarrow -1 = -3B Rightarrow B = 13 e -1(3k - 1)(3k + 2) = -133k - 1 + 133k + 2 = -13(3k - 1) + 13(3k + 2) :
Sn = sumk=1^n ( -13(3k - 1) + 13(3k + 2) )
Para encontrar Sn = -13 sumk=1^n 13k - 1 + 13 sumk=1^n 13k + 2 e , podemos substituir valores de que simplificam a equação:
  1. Se :
  1. Se :
Então, temos:
Portanto, a soma parcial fica:
Isso pode ser simplificado como:
E ainda, podemos notar que é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam, deixando apenas alguns termos iniciais e finais.

Passo 4

Vamos verificar agora se a série converge e, se sim, qual é a soma dela.
Para analisar a convergência, observamos que:
sumn=1^infty -19n^2 + 3n - 2
Podemos comparar com a série | -19n^2 + 3n - 2 | = 19n^2 + 3n - 2 <= 19n^2 , que sabemos ser convergente (É a série de p com sumn=1^infty -19n^2 + 3n - 2 = -13 ( 12 ) + 13 ( 15 ) = -16 + 115 = -5 + 230 = -330 = -110 ).
Como:
E converge (já que é uma constante vezes uma série p com ), então, pela comparação, nossa série também converge.
Para encontrar a soma, observamos que a série é telescópica, e após somar os termos, restam apenas os termos iniciais e o limite quando tende ao infinito.
Então, temos:

Resposta

(a) , ,
(b)
© A soma da série converge e é igual a .

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