Use o método do Exemplo 1 para achar (a) e ; (b) ; © a soma da série, se for convergente.
(4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o método do Exemplo 1 para achar três coisas sobre a série . Aqui, estamos lidando com séries infinitas e queremos encontrar os três primeiros termos da soma parcial ( , , ), uma expressão geral para a soma parcial ( ) e, por fim, verificar se a série converge e qual é a soma dela se convergir. Vamos precisar conhecer conceitos de séries, soma parcial e critério de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , e .
A soma parcial é simplesmente a soma dos primeiros termos da série. Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma expressão geral para . Para isso, precisamos somar os primeiros termos da série:
Para simplificar essa soma, podemos fatorar o denominador:
Então, a fração pode ser decomposta em frações parciais:
Resolvendo para e :
Para encontrar e , podemos substituir valores de que simplificam a equação:
  1. Se :
  1. Se :
Então, temos:
Portanto, a soma parcial fica:
Isso pode ser simplificado como:
E ainda, podemos notar que é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam, deixando apenas alguns termos iniciais e finais.

Passo 4

Vamos verificar agora se a série converge e, se sim, qual é a soma dela.
Para analisar a convergência, observamos que:
Podemos comparar com a série , que sabemos ser convergente (É a série de p com ).
Como:
E converge (já que é uma constante vezes uma série p com ), então, pela comparação, nossa série também converge.
Para encontrar a soma, observamos que a série é telescópica, e após somar os termos, restam apenas os termos iniciais e o limite quando tende ao infinito.
Então, temos:

Resposta

(a) , ,
(b)
© A soma da série converge e é igual a .

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(b)
Use o método do Exemplo 1 para achar (a) e ; (b) ; © a soma da série, se for convergente.
Classifique os pontos críticos de:
(e)
Classifique os pontos críticos de:
(f)