Classifique os pontos críticos de:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza! A gente vai classificar os pontos críticos da função
. Pra isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente as derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Vamos precisar achar onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são zero, e depois ver a natureza desses pontos com o Hessiano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos achar os pontos críticos resolvendo o sistema onde
e
:
Passo 4
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação:
. Substituindo na primeira:
Então,
. O ponto crítico é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular as segundas derivadas para formar o Hessiano:
Passo 6
O determinante do Hessiano
é dado por:
Passo 7
Agora, analisamos o sinal de
:
- Se
e , temos um máximo local. - Se
e , temos um mínimo local. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
. Então, o ponto crítico
é um máximo local.
Resposta
O ponto crítico
é um máximo local da função
.
Exercícios relacionados
Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.
Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.
Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.
(4)
(4)
Classifique os pontos críticos de:
(e)
(e)