Classifique os pontos críticos de:
(b)

Passo 1

Beleza! A gente vai classificar os pontos críticos da função . Pra isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente as derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Vamos precisar achar onde as derivadas parciais de em relação a e são zero, e depois ver a natureza desses pontos com o Hessiano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos achar os pontos críticos resolvendo o sistema onde e :

Passo 4

Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação: . Substituindo na primeira:
Então, . O ponto crítico é .

Passo 5

Agora, vamos calcular as segundas derivadas para formar o Hessiano:

Passo 6

O determinante do Hessiano é dado por:

Passo 7

Agora, analisamos o sinal de :
  • Se e , temos um máximo local.
  • Se e , temos um mínimo local.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e . Então, o ponto crítico é um máximo local.

Resposta

O ponto crítico é um máximo local da função .

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Use o método do Exemplo 1 para achar (a) e ; (b) ; © a soma da série, se for convergente.
Use o método do Exemplo 1 para achar (a) e ; (b) ; © a soma da série, se for convergente.
Use o método do Exemplo 1 para achar (a) e ; (b) ; © a soma da série, se for convergente.
(4)
Classifique os pontos críticos de:
(e)