Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular algumas somas parciais e, depois, a soma total da série
usando o método do Exemplo 1. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas, somas parciais e como simplificar frações usando frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
,
e
. Essas são as somas parciais, ou seja, somas dos primeiros 1, 2 e 3 termos da série.
Para
:
Passo 3
Para
:
Passo 4
Para
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a expressão geral para
. Para isso, vamos simplificar a fração
usando frações parciais.
Primeiro, fatoramos o denominador:
Vamos expressar
como:
Resolvendo para
e
, encontramos que:
Então:
Multiplicando por 3:
Isso nos leva a uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar.
Passo 6
Somando os termos de
até
, temos:
Notamos que a maioria dos termos internos se cancela, sobrando apenas:
Simplificando ainda mais:
Passo 7
Por fim, para encontrar a soma da série infinita, observamos o comportamento de
quando
tende ao infinito:
Então, a série é convergente e soma até
.
Resposta
(a)
,
,
;
(b) ;
© A soma da série é .
(b)
© A soma da série é
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Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.
Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.
Classifique os pontos críticos de:
(b)
(b)
Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.
(4)
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