Use o método do Exemplo 1 para achar (a) S1, S2 e S3; (b) Sn; © a soma da série, se for convergente.
3 sumn=1^infty 14 n^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular algumas somas parciais e, depois, a soma total da série usando o método do Exemplo 1. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas, somas parciais e como simplificar frações usando frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular S1 = 3 cdot 14(1)^2 - 1 = 3 cdot 14 - 1 = 3 cdot 13 = 1 , e . Essas são as somas parciais, ou seja, somas dos primeiros 1, 2 e 3 termos da série.
Para :

Passo 3

Para S2 = S1 + 3 cdot 14(2)^2 - 1 = 1 + 3 cdot 116 - 1 = 1 + 3 cdot 115 = 1 + 15 = 65 :

Passo 4

Para S3 = S2 + 3 cdot 14(3)^2 - 1 = 65 + 3 cdot 136 - 1 = 65 + 3 cdot 135 = 65 + 335 = 4235 + 335 = 4535 = 97 :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a expressão geral para 4n^2 - 1 = (2n - 12)(2n + 12) = (2n - 12)(2n + 12) . Para isso, vamos simplificar a fração 14n^2 - 1 = A2n - 12 + B2n + 12 usando frações parciais.
Primeiro, fatoramos o denominador:
A = 12, B = -12
Vamos expressar 14n^2 - 1 = 12(12n - 12 - 12n + 12) como:
3 cdot 14n^2 - 1 = 32(12n - 12 - 12n + 12)
Resolvendo para e , encontramos que:
Então:
Multiplicando por 3:
Isso nos leva a uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar.

Passo 6

Somando os termos de Sn = 32 ( sumk=1^n (12k - 12 - 12k + 12) ) até Sn = 32 (1 - 12n + 12) = 32 (1 - 12n + 0.5) , temos:
Sn = 32 (1 - 24n + 1) = 32 - 34n + 1
Notamos que a maioria dos termos internos se cancela, sobrando apenas:
Simplificando ainda mais:

Passo 7

Por fim, para encontrar a soma da série infinita, observamos o comportamento de limn to infty Sn = limn to infty ( 32 - 34n + 1 ) = 32 - 0 = 32 quando tende ao infinito:
Então, a série é convergente e soma até .

Resposta

(a) , , ;
(b) ;
© A soma da série é .

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