Use o método do Exemplo 1 para achar (a) e ; (b) ; © a soma da série, se for convergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular algumas somas parciais e, depois, a soma total da série usando o método do Exemplo 1. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas, somas parciais e como simplificar frações usando frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , e . Essas são as somas parciais, ou seja, somas dos primeiros 1, 2 e 3 termos da série.
Para :

Passo 3

Para :

Passo 4

Para :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a expressão geral para . Para isso, vamos simplificar a fração usando frações parciais.
Primeiro, fatoramos o denominador:
Vamos expressar como:
Resolvendo para e , encontramos que:
Então:
Multiplicando por 3:
Isso nos leva a uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar.

Passo 6

Somando os termos de até , temos:
Notamos que a maioria dos termos internos se cancela, sobrando apenas:
Simplificando ainda mais:

Passo 7

Por fim, para encontrar a soma da série infinita, observamos o comportamento de quando tende ao infinito:
Então, a série é convergente e soma até .

Resposta

(a) , , ;
(b) ;
© A soma da série é .

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Use o método do Exemplo 1 para achar (a) e ; (b) ; © a soma da série, se for convergente.
Use o método do Exemplo 1 para achar (a) e ; (b) ; © a soma da série, se for convergente.
Classifique os pontos críticos de:
(b)
Use o método do Exemplo 1 para achar (a) e ; (b) ; © a soma da série, se for convergente.
(4)