Use o método das frações parciais para calcular as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método das frações parciais. O exercício pede para calcular a integral de . Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente consiga integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos tirar um fator comum de :
Agora, observamos que é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Portanto, o denominador completamente fatorado fica:

Passo 3

Com o denominador fatorado, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. A ideia é encontrar constantes , e tais que:
Nosso objetivo agora é descobrir os valores de , e .

Passo 4

Para encontrar , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, expandimos e simplificamos a expressão do lado direito.

Passo 5

Vamos expandir cada termo:
Agora, somando todos os termos:

Passo 6

Comparando os coeficientes dos termos de , e o termo constante com a expressão original , temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e .

Passo 7

Primeiro, resolvemos a terceira equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
E na segunda equação:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Passo 8

Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Resposta

Integrando cada parcela, temos:
Integrando termo a termo:
Portanto, a resposta final é:

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Reduza à forma cada uma das expressões .
Use o método das frações parciais para calcular as integrais abaixo:
Reduza à forma cada uma das expressões .
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