Use o método das frações parciais para calcular as integrais abaixo:
integral x^2+12 x+12x^3-4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método das frações parciais. O exercício pede para calcular a integral de x^2+12x+12x^3-4x dx. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente consiga integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - 4x. Podemos tirar um fator comum de x:
x^3 - 4x = x(x^2 - 4)
Agora, observamos que x^2 - 4 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Portanto, o denominador completamente fatorado fica:
x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2)

Passo 3

Com o denominador fatorado, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. A ideia é encontrar constantes A, B e C tais que:
x^2 + 12x + 12x(x - 2)(x + 2) = Ax + Bx - 2 + Cx + 2
Nosso objetivo agora é descobrir os valores de A, B e C.

Passo 4

Para encontrar A, B e C, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum x(x - 2)(x + 2):
x^2 + 12x + 12 = A(x - 2)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x - 2)
Agora, expandimos e simplificamos a expressão do lado direito.

Passo 5

Vamos expandir cada termo:
  • A(x - 2)(x + 2) = A(x^2 - 4)
  • Bx(x + 2) = Bx^2 + 2Bx
  • Cx(x - 2) = Cx^2 - 2Cx
Agora, somando todos os termos:
A(x^2 - 4) + Bx^2 + 2Bx + Cx^2 - 2Cx = (A + B + C)x^2 + (2B - 2C)x - 4A

Passo 6

Comparando os coeficientes dos termos de x^2, x e o termo constante com a expressão original x^2 + 12x + 12, temos o sistema de equações:
A + B + C = 1 2B - 2C = 12 -4A = 12
Vamos resolver esse sistema para encontrar A, B e C.

Passo 7

Primeiro, resolvemos a terceira equação:
-4A = 12 Rightarrow A = -3
Agora, substituímos A = -3 na primeira equação:
-3 + B + C = 1 Rightarrow B + C = 4
E na segunda equação:
2B - 2C = 12 Rightarrow B - C = 6
Agora, temos:
B + C = 4 B - C = 6
Somando as duas equações:
2B = 10 Rightarrow B = 5
Substituindo B = 5 na primeira equação:
5 + C = 4 Rightarrow C = -1

Passo 8

Agora que temos os valores de A, B e C, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
x^2 + 12x + 12x(x - 2)(x + 2) = -3x + 5x - 2 + -1x + 2
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Resposta

Integrando cada parcela, temos:
integral x^2+12x+12x^3-4x dx = integral (-3x + 5x - 2 + -1x + 2) dx
Integrando termo a termo:
-3 ln|x| + 5 ln|x - 2| - ln|x + 2| + C
Portanto, a resposta final é:
-3 ln|x| + 5 ln|x - 2| - ln|x + 2| + C

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