Use o método das frações parciais para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o método das frações parciais. O exercício pede para calcular a integral de . Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente consiga integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos tirar um fator comum de :
Agora, observamos que é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Portanto, o denominador completamente fatorado fica:
Passo 3
Com o denominador fatorado, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. A ideia é encontrar constantes , e tais que:
Nosso objetivo agora é descobrir os valores de , e .
Passo 4
Para encontrar , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, expandimos e simplificamos a expressão do lado direito.
Passo 5
Vamos expandir cada termo:
Agora, somando todos os termos:
Passo 6
Comparando os coeficientes dos termos de , e o termo constante com a expressão original , temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e .
Passo 7
Primeiro, resolvemos a terceira equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
E na segunda equação:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Passo 8
Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais: