Use o método das frações parciais para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o método das frações parciais. O exercício pede para calcular a integral de . Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente consiga integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos tirar um fator comum de :
Agora, observamos que é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Portanto, o denominador completamente fatorado fica:
Passo 3
Com o denominador fatorado, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. A ideia é encontrar constantes , e tais que:
Nosso objetivo agora é descobrir os valores de , e .
Passo 4
Para encontrar , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, expandimos e simplificamos a expressão do lado direito.
Passo 5
Vamos expandir cada termo:
Agora, somando todos os termos:
Passo 6
Comparando os coeficientes dos termos de , e o termo constante com a expressão original , temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar A, B e C.
Passo 7
Primeiro, resolvemos a terceira equação:
-4A = 12 Rightarrow A = -3
Agora, substituímos A = -3 na primeira equação:
-3 + B + C = 1 Rightarrow B + C = 4
E na segunda equação:
2B - 2C = 12 Rightarrow B - C = 6
Agora, temos:
B + C = 4 B - C = 6
Somando as duas equações:
2B = 10 Rightarrow B = 5
Substituindo B = 5 na primeira equação:
5 + C = 4 Rightarrow C = -1
Passo 8
Agora que temos os valores de A, B e C, podemos escrever a decomposição em frações parciais: