Derive
© g(x) = e^x / x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente usando a regra do quociente para derivar funções que são divididas uma pela outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra do quociente. Se você tem uma função que é o quociente de duas outras funções, ou seja, , a derivada dessa função é dada por:
Então, no nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
E o denominador:

Passo 6

Então, a derivada fica:

Passo 7

Podemos simplificar ainda mais dividindo cada termo no numerador pelo denominador:

Passo 8

Para deixar mais elegante, fatoramos e reescrevemos:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Use o método de Picard para obter as soluções das seguintes equações diferenciais. Encontre pelo menos a quarta aproximação para cada solução.
y' = -3y, y(0) = 1
Seja um campo de forças dado por F(x, y, z) = (3 x^2 y z + e^z, x^3 z, x^3 y + x e^z + 3 z^2).
(15.2) Calcule o trabalho realizado por F para mover uma particula ao longo da curva r, interseção da superfície z = 1 - x^2 (onde z >= 0 ), com o plano y + z = 1, orientada no sentido do crescimento de x.
Dada uma curva paramétrica x = f(t) e y = g(t), sabemos que muitas vezes podemos eliminar o parâmetro t nas equações para obter uma função y = h(x).
b) Use o resultado para encontrar dy/dx e d²y/dx², para as curvas:
i. x = t^2 e^t ; y = t ln t
ii. x = a cos(t) ; y = b sen(t)
iii. x = cosh(t) ; y = senh(t)
Use o método de Picard para obter a quarta aproximação da solução de y' = x + y, y(1) = 2. (Sugestão: tome o limite inferior de integração como sendo um).