Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.
Passo 1
Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial parcial (EDP) que se parece com isso:
Estamos na área de equações diferenciais, mais especificamente trabalhando com métodos para resolver essas equações. O método que vamos usar aqui se chama separação de variáveis. Basicamente, a ideia é separar as variáveis
e
para facilitar a resolução da equação. Vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Isso significa que a taxa de variação de
em relação a
é igual à taxa de variação de
em relação a
.
Passo 3
Agora, aplicando o método de separação de variáveis, assumimos que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
:
Nossa missão é encontrar as funções
e
que satisfazem a equação.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Substituindo essas nas equações que derivamos antes:
Passo 5
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Dividimos ambos os lados por
:
Percebemos que cada lado da equação depende apenas de uma variável diferente. Isso significa que ambos os lados devem ser iguais a uma constante, vamos chamar essa constante de
.
Passo 6
Dessa forma, temos duas equações separadas:
- Para
:
- Para
:
Vamos resolver cada uma dessas equações individualmente.
Passo 7
Começando com a equação em
:
Essa é uma equação diferencial ordinária simples cuja solução é uma função exponencial:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 8
Agora, resolvendo a equação em
:
Semelhante à anterior, a solução também é uma função exponencial:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 9
Juntando as soluções de
e
, temos a solução geral da equação original:
Onde
é uma constante geral.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes reais.
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Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.
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