Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.
partial rpartial x-partial rpartial y=0

Passo 1

Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial parcial (EDP) que se parece com isso:
partial rpartial x - partial rpartial y = 0
Estamos na área de equações diferenciais, mais especificamente trabalhando com métodos para resolver essas equações. O método que vamos usar aqui se chama separação de variáveis. Basicamente, a ideia é separar as variáveis e para facilitar a resolução da equação. Vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
partial rpartial x = partial rpartial y
Isso significa que a taxa de variação de em relação a é igual à taxa de variação de em relação a .

Passo 3

Agora, aplicando o método de separação de variáveis, assumimos que a solução r(x, y) = X(x) cdot Y(y) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de :
Nossa missão é encontrar as funções e que satisfazem a equação.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de partial rpartial x = dXdx cdot Y(y) em relação a partial rpartial y = X(x) cdot dYdy e dXdx cdot Y(y) = X(x) cdot dYdy :
Substituindo essas nas equações que derivamos antes:

Passo 5

Agora, vamos separar as variáveis 1X(x) cdot dXdx = 1Y(y) cdot dYdy e . Dividimos ambos os lados por :
Percebemos que cada lado da equação depende apenas de uma variável diferente. Isso significa que ambos os lados devem ser iguais a uma constante, vamos chamar essa constante de .

Passo 6

Dessa forma, temos duas equações separadas:
  1. Para 1X(x) cdot dXdx = k :
1Y(y) cdot dYdy = k
  1. Para :
Vamos resolver cada uma dessas equações individualmente.

Passo 7

Começando com a equação em dXdx = kX(x) :
X(x) = C1 e^kx
Essa é uma equação diferencial ordinária simples cuja solução é uma função exponencial:
Onde é uma constante de integração.

Passo 8

Agora, resolvendo a equação em dYdy = kY(y) :
Y(y) = C2 e^ky
Semelhante à anterior, a solução também é uma função exponencial:
Onde é outra constante de integração.

Passo 9

Juntando as soluções de r(x, y) = X(x) cdot Y(y) = C1 e^kx cdot C2 e^ky = C e^k(x + y) e , temos a solução geral da equação original:
Onde é uma constante geral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
r(x, y) = C cdot e^k(x + y)
Onde e são constantes reais.

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