Resolva as equações diferenciais parciais

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial parcial:
Aqui, estamos lidando com derivadas parciais de alta ordem. O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais parciais, e vamos precisar integrar a equação várias vezes para encontrar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a derivada dada é de quinta ordem, com respeito a duas vezes, uma vez e duas vezes. Para encontrar , precisamos integrar essa expressão sucessivamente em relação a cada uma dessas variáveis.

Passo 3

Começamos integrando a equação com relação a . Lembre-se que, ao integrar em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.
Aqui, é a “constante” de integração, que na verdade é uma função das variáveis que não estamos integrando agora.

Passo 4

Agora, integramos com relação a .
Aqui, é outra função de integração, agora dependendo apenas de .

Passo 5

Integramos novamente com relação a :
Essa integral vai nos levar a expressões mais complexas, envolvendo funções de , e .

Passo 6

Continuamos integrando com relação a duas vezes. Cada integração com respeito a adiciona funções de integração que dependem das outras variáveis.
Finalmente, após todas as integrações, obtemos a expressão geral para , que inclui todas as funções de integração resultantes de cada passo.

Resposta

A solução geral da equação diferencial parcial é:
Onde e são funções arbitrárias de e , e é a constante de integração.

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Uma partícula move-se no plano e a sua posição ( em metros) em função do tempo ( em segundos) é descrita pela função vetorial . Calcule:
A velocidade média e a aceleração média entre os instantes e .
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