Resolva as equações diferenciais parciais
partial^5 ypartial x^2 partial s partial z^2=x^2+s e^z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial parcial:
partial^5 ypartial x^2 partial s partial z^2 = x^2 + s e^z
Aqui, estamos lidando com derivadas parciais de alta ordem. O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais parciais, e vamos precisar integrar a equação várias vezes para encontrar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a derivada dada é de quinta ordem, com respeito a duas vezes, uma vez e duas vezes. Para encontrar , precisamos integrar essa expressão sucessivamente em relação a cada uma dessas variáveis.

Passo 3

Começamos integrando a equação com relação a partial^4 ypartial x^2 partial z^2 = integral (x^2 + s e^z) , ds = x^2 s + 12 s^2 e^z + f1(x, z) . Lembre-se que, ao integrar em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.
Aqui, é a “constante” de integração, que na verdade é uma função das variáveis que não estamos integrando agora.

Passo 4

Agora, integramos com relação a partial^3 ypartial x^2 partial z = integral ( x^2 s + 12 s^2 e^z + f1(x, z) ) dz = x^2 s z + 12 s^2 e^z + integral f1(x, z) , dz + f2(x) .
Aqui, é outra função de integração, agora dependendo apenas de .

Passo 5

Integramos novamente com relação a partial^2 ypartial x^2 = integral ( x^2 s z + 12 s^2 e^z + integral f1(x, z) , dz + f2(x) ) dz :
Essa integral vai nos levar a expressões mais complexas, envolvendo funções de , e .

Passo 6

Continuamos integrando com relação a duas vezes. Cada integração com respeito a adiciona funções de integração que dependem das outras variáveis.
Finalmente, após todas as integrações, obtemos a expressão geral para , que inclui todas as funções de integração resultantes de cada passo.

Resposta

A solução geral da equação diferencial parcial é:
y(x, s, z) = 12 x^2 s z^2 + 12 s^2 e^z z + F1(s, z) x + F2(s, z) + C
Onde e são funções arbitrárias de e , e é a constante de integração.

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