Resolva as equações diferenciais parciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial parcial:
Aqui, estamos lidando com derivadas parciais de alta ordem. O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais parciais, e vamos precisar integrar a equação várias vezes para encontrar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a derivada dada é de quinta ordem, com respeito a
duas vezes,
uma vez e
duas vezes. Para encontrar
, precisamos integrar essa expressão sucessivamente em relação a cada uma dessas variáveis.
Passo 3
Começamos integrando a equação com relação a
. Lembre-se que, ao integrar em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.
Aqui,
é a “constante” de integração, que na verdade é uma função das variáveis que não estamos integrando agora.
Passo 4
Agora, integramos com relação a
.
Aqui,
é outra função de integração, agora dependendo apenas de
.
Passo 5
Integramos novamente com relação a
:
Essa integral vai nos levar a expressões mais complexas, envolvendo funções de
,
e
.
Passo 6
Continuamos integrando com relação a
duas vezes. Cada integração com respeito a
adiciona funções de integração que dependem das outras variáveis.
Finalmente, após todas as integrações, obtemos a expressão geral para
, que inclui todas as funções de integração resultantes de cada passo.
Resposta
A solução geral da equação diferencial parcial é:
Onde
e
são funções arbitrárias de
e
, e
é a constante de integração.