Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos a seguinte equação diferencial parcial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial parcial de primeira ordem. O conteúdo que vamos precisar para resolver essa equação é o método de separação de variáveis, que nos ajuda a encontrar soluções assumindo que a função
pode ser escrita como o produto de funções que dependem apenas de uma variável cada. Vamos usar isso para tentar resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser separada em duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
. Ou seja, vamos supor que:
Essa é a essência do método de separação de variáveis: escrever a solução como o produto de funções isoladas de cada variável.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Aqui,
e
representam as derivadas de
e
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 4
Substituindo essas derivadas na equação original, temos:
Agora, queremos separar as variáveis
e
para facilitar a resolução.
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para isolar termos que dependem apenas de
e apenas de
:
Podemos reescrever isso como:
No entanto, para que isso funcione de verdade, precisamos que ambos os lados da equação sejam iguais a uma constante, já que um lado depende apenas de
e o outro apenas de
.
Passo 6
Vamos definir essa constante como
. Assim, temos duas equações:
- Para a parte que depende de
:
- Para a parte que depende de
:
No entanto, percebemos que a presença do termo
dificulta a separação completa das variáveis. Isso sugere que talvez a separação de variáveis não seja o método mais adequado para esta equação específica.
Passo 7
Diante disso, vamos tentar uma abordagem alternativa. Podemos procurar uma solução particular para a equação original. Vamos assumir que
pode ser escrita como uma soma de funções que dependem apenas de
ou
:
Vamos calcular as derivadas parciais dessa forma:
Substituindo na equação original:
Passo 8
Agora, percebemos que o lado direito da equação depende apenas de
, enquanto o lado esquerdo depende de
. Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de
e
, ambas as partes devem ser iguais a uma constante. Vamos chamar essa constante de
:
- Para
, podemos separar em duas equações: -
Passo 9
Integrando essas equações, encontramos:
- Integração de
:
onde
é a constante de integração.
- Integração de
:
onde
é outra constante de integração.
Passo 10
Finalmente, substituímos
e
na expressão de
:
Podemos simplificar as constantes
e
em uma única constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.
Resolva as equações diferenciais parciais
Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.
Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.