Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.
partial upartial x-partial upartial y=cos x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos a seguinte equação diferencial parcial:
partial upartial x - partial upartial y = cos x
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial parcial de primeira ordem. O conteúdo que vamos precisar para resolver essa equação é o método de separação de variáveis, que nos ajuda a encontrar soluções assumindo que a função pode ser escrita como o produto de funções que dependem apenas de uma variável cada. Vamos usar isso para tentar resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução u(x, y) = X(x) cdot Y(y) pode ser separada em duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de . Ou seja, vamos supor que:
Essa é a essência do método de separação de variáveis: escrever a solução como o produto de funções isoladas de cada variável.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial upartial x = X'(x) cdot Y(y) em relação a partial upartial y = X(x) cdot Y'(y) e :
Aqui, e representam as derivadas de e em relação a e , respectivamente.

Passo 4

Substituindo essas derivadas na equação original, temos:
X'(x) cdot Y(y) - X(x) cdot Y'(y) = cos x
Agora, queremos separar as variáveis e para facilitar a resolução.

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar termos que dependem apenas de X'(x) cdot Y(y) - X(x) cdot Y'(y) = cos x e apenas de X'(x)X(x) - Y'(y)Y(y) = cos xX(x) cdot Y(y) :
Podemos reescrever isso como:
No entanto, para que isso funcione de verdade, precisamos que ambos os lados da equação sejam iguais a uma constante, já que um lado depende apenas de e o outro apenas de .

Passo 6

Vamos definir essa constante como X'(x)X(x) = k + cos xX(x) cdot Y(y) . Assim, temos duas equações:
  1. Para a parte que depende de -Y'(y)Y(y) = k :
  1. Para a parte que depende de :
No entanto, percebemos que a presença do termo dificulta a separação completa das variáveis. Isso sugere que talvez a separação de variáveis não seja o método mais adequado para esta equação específica.

Passo 7

Diante disso, vamos tentar uma abordagem alternativa. Podemos procurar uma solução particular para a equação original. Vamos assumir que u(x, y) = f(x) + g(y) pode ser escrita como uma soma de funções que dependem apenas de partial upartial x = f'(x) ou partial upartial y = g'(y) :
f'(x) - g'(y) = cos x
Vamos calcular as derivadas parciais dessa forma:
Substituindo na equação original:

Passo 8

Agora, percebemos que o lado direito da equação depende apenas de , enquanto o lado esquerdo depende de . Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de e , ambas as partes devem ser iguais a uma constante. Vamos chamar essa constante de :
  1. Para , podemos separar em duas equações:

Passo 9

Integrando essas equações, encontramos:
  1. Integração de f(x) = integral (cos x + C) , dx = sin x + Cx + D :
g(y) = -integral C , dy = -Cy + E
onde é a constante de integração.
  1. Integração de :
onde é outra constante de integração.

Passo 10

Finalmente, substituímos u(x, y) = (sin x + Cx + D) + (-Cy + E) e u(x, y) = sin x + Cx - Cy + K na expressão de :
Podemos simplificar as constantes e em uma única constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
u(x, y) = sin x + C(x - y) + K
Onde e são constantes arbitrárias.

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