Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você trouxe! A gente tem uma equação diferencial parcial que parece assim:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais parciais e vamos usar o método de separação de variáveis para resolver. Esse método ajuda a transformar uma equação complicada em partes mais simples, resolvendo cada variável separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de
e outra que depende só de
. Ou seja:
Essa é a essência da separação de variáveis: separar as partes que dependem de cada variável.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir essas derivadas na equação original:
Nosso objetivo é separar as variáveis
e
.
Passo 5
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Agora cada lado da equação depende apenas de uma variável,
ou
.
Passo 6
Como o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
, ambos devem ser iguais a uma constante, vamos chamar essa constante de
. Assim:
Para
:
Para
:
Passo 7
Vamos resolver cada equação separadamente. Começando com a de
:
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com solução geral:
onde
e
são constantes.
Passo 8
Agora, para a equação de
:
Essa equação pode ser reescrita como:
Essa é uma equação de Euler-Cauchy, e sua solução geral envolve funções de potências ou funções especiais, dependendo do valor de
.
Passo 9
A solução geral da equação de
pode ser escrita como:
onde
satisfaz a equação:
Resolvendo para
:
Passo 10
Finalmente, juntando as soluções de
e
, a solução geral da equação diferencial original é:
Onde
,
,
,
são constantes arbitrárias e
está relacionado a
conforme visto.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
,
,
,
são constantes arbitrárias e
.
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Resolva as equações diferenciais parciais