Resolva as equações diferenciais parciais
partial^2 v(x, y)partial x^2=2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial parcial que você me mandou:
partial^2 v(x, y)partial x^2 = 2x
Essa equação pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Parciais (EDPs). Para resolver, a gente vai precisar integrar a equação duas vezes em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a equação em relação a partial v(x, y)partial x = integral 2x , dx = x^2 + C(y) . Quando fazemos uma integração, “desfazemos” uma derivada. Aqui, temos a segunda derivada de em relação a , então a primeira integração vai nos dar a primeira derivada.
Integrando com respeito a :
Aqui, é uma função arbitrária de , porque estamos integrando em relação a e é tratado como uma constante durante essa integração.

Passo 3

Agora, vamos integrar novamente para encontrar v(x, y) = integral (x^2 + C(y)) , dx = x^33 + C(y)x + D(y) . Vamos integrar a primeira derivada que encontramos:
Aqui, é outra função arbitrária de , resultante da integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial parcial é:
v(x, y) = x^33 + C(y)x + D(y)
onde e são funções arbitrárias de .

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