Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: integral x(x^2+1) raiz4-2 x^2-x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que calcular a integral:
integral x(x^2+1) raiz4-2 x^2-x^4 , dx
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve substituição de variáveis. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que, ao ser substituída por uma nova variável, simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz quadrada: u = 2x^2 + x^4 . Vamos chamar essa expressão de :
Isso simplifica a raiz para , facilitando o processo de substituição.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 4x + 4x^3 = 4x(x^2 + 1) em relação a du = 4x(x^2 + 1) , dx para encontrar :
Isso nos dá:
Perceba que aparece na expressão de , e isso está presente na nossa integral original.

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de x(x^2 + 1) , dx = du4 . Dividindo ambos os lados de integral x(x^2 + 1) raiz4 - u , dx = integral raiz4 - u cdot du4 por 4, temos:
Substituindo na integral:

Passo 5

A integral agora fica mais simples:
14 integral raiz4 - u , du
Sabemos que a integral de integral raiza - u , du = -23 (a - u)^3/2 + C em relação a 14 cdot ( -23 (4 - u)^3/2 ) + C = -16 (4 - u)^3/2 + C é:
Aplicando isso na nossa integral:

Passo 6

Agora, voltamos à variável original -16 (4 - (2x^2 + x^4))^3/2 + C = -16 (4 - 2x^2 - x^4)^3/2 + C , substituindo :

Resposta

A integral é igual a
-16 (4 - 2x^2 - x^4)^3/2 + C

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