Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que calcular a integral:
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve substituição de variáveis. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que, ao ser substituída por uma nova variável, simplifica a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz quadrada:
. Vamos chamar essa expressão de
:
Isso simplifica a raiz para
, facilitando o processo de substituição.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Isso nos dá:
Perceba que
aparece na expressão de
, e isso está presente na nossa integral original.
Passo 4
Vamos reescrever a integral original em termos de
. Dividindo ambos os lados de
por 4, temos:
Substituindo na integral:
Passo 5
A integral agora fica mais simples:
Sabemos que a integral de
em relação a
é:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 6
Agora, voltamos à variável original
, substituindo
:
Resposta
A integral é igual a
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Seja
.
b) Determine o domínio de .
b) Determine o domínio de
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: