Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: integral r^2 sec ^2(r^3) d r

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição de variáveis. Esse método ajuda a simplificar integrais complicadas trocando uma parte da expressão por uma nova variável. Para isso, precisamos identificar qual parte da função pode ser substituída para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a função dentro do , vemos . Vamos definir . Assim, representa uma nova variável que facilita nossa integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de du = 3r^2 dr em relação a para substituir . Derivando , temos:
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 4

Vamos isolar r^2 dr = du3 na equação :
Agora, podemos substituir na integral original por .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
integral r^2 sec^2(r^3) dr = integral sec^2(u) cdot du3 = 13 integral sec^2(u) du

Passo 6

A integral de 13 integral sec^2(u) du = 13 tan(u) + C é uma das integrais básicas que conhecemos do cálculo, e ela é igual a . Então:

Passo 7

Agora, vamos voltar à variável original 13 tan(r^3) + C , já que definimos . Substituindo de volta, temos:

Resposta

A integral é igual a .

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