Projete um combinação de resistores, capacitores, e/ou indutores, de tal maneira que a impedância equivalente com omega=100 rad / s seja © 3-j 4 Omega.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente projetar uma combinação de resistores, capacitores e/ou indutores de forma que a impedância equivalente, quando a frequência angular omega é 100 rad/s, seja 3 - j4,Omega. Aqui, estamos lidando com impedância em circuitos de corrente alternada, onde resistores, capacitores e indutores têm comportamentos diferentes. Para resolver, vamos precisar entender como cada componente contribui para a impedância total e como combiná-los para atingir o valor desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a impedância de cada componente em corrente alternada é dada por:
  • Resistor ®: ZR = R
  • Capacitor ©: ZC = 1jomega C = -j1omega C
  • Indutor (L): ZL = jomega L
Aqui, j é a unidade imaginária, e omega é a frequência angular.

Passo 3

Observando a impedância desejada Z = 3 - j4,Omega, percebemos que temos uma parte real ( 3,Omega) e uma parte imaginária negativa ( -4,Omega). A parte real geralmente vem do resistor, enquanto a parte imaginária negativa indica um comportamento capacitivo. Portanto, vamos combinar um resistor e um capacitor em série para conseguir essa impedância.

Passo 4

Vamos assumir que temos um resistor R e um capacitor C em série. A impedância total dessa combinação é a soma das impedâncias individuais:
Ztotal = ZR + ZC = R - j1omega C
Queremos que isso seja igual a 3 - j4,Omega:
R - j1omega C = 3 - j4

Passo 5

Agora, vamos separar as partes real e imaginária para encontrar os valores de R e C:
Parte real:
R = 3,Omega
Parte imaginária:
-1omega C = -4
Simplificando a parte imaginária:
1omega C = 4

Passo 6

Vamos resolver para C:
1omega C = 4 Rightarrow omega C = 14 Rightarrow C = 14omega
Sabemos que omega = 100,rad/s, então:
C = 14 times 100 = 1400 = 0,0025,F
Convertendo para microfarads:
0,0025,F = 2500,muF

Passo 7

Então, encontramos os valores necessários:
  • Resistor: R = 3,Omega
  • Capacitor: C = 2500,muF

Resposta

Para obter uma impedância equivalente de 3 - j4,Omega com omega=100,rad/s, podemos combinar um resistor de 3,Omega em série com um capacitor de 2500,muF. Essa configuração proporciona a impedância desejada.

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