Discuta em função de os seguintes sistemas lineares:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis , e , e um parâmetro . Nosso objetivo é entender como esse sistema se comporta dependendo do valor de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e escalonamento, para ver se o sistema tem uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais organizada:
2x - 5y + 2z = 0 x + y + z = 0 2x + 0y + kz = 0
Agora, vamos representar esse sistema em forma de matriz aumentada para facilitar o escalonamento:
Vamos começar a escalonar a matriz para encontrar suas soluções. O objetivo é deixar a matriz em uma forma onde possamos ver claramente as relações entre as variáveis.
Primeira operação: Vamos trocar a primeira e a segunda linha para facilitar os cálculos.
Segunda operação: Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda e da terceira linha para remover o 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & -7 & 0 & | & 0 0 & -2 & k-2 & | & 0 das linhas abaixo.
Segunda linha: , ,
Terceira linha: , ,
A matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos simplificar ainda mais a matriz para descobrir as possíveis soluções.
Terceira operação: Vamos eliminar o 0 (-2) + (-2) = -4 (k-2) + 0 = k-2 | 0 da terceira linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & -7 & 0 & | & 0 0 & -4 & k-2 & | & 0 e somamos à terceira linha.
Segunda linha: , ,
Adicionando à terceira linha: , ,
Mas na verdade, há um erro aqui. O correto é multiplicar a segunda linha por e somar à terceira linha:
para o
para o
Assim, a terceira linha fica:
Então, a matriz simplificada é:
Análise das soluções:
Se , a terceira equação vai determinar o valor de , resultando em uma solução única.
Se , ou seja, , a terceira equação se reduz a , indicando que há infinitas soluções.
Resposta
O sistema possui uma solução única para qualquer valor de diferente de 2. Quando , o sistema tem infinitas soluções.