Discuta em função de k os seguintes sistemas lineares:
l2 x-5 y+2 z=0 x+y+z=0 2 x+0 y+k z=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis , e , e um parâmetro . Nosso objetivo é entender como esse sistema se comporta dependendo do valor de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e escalonamento, para ver se o sistema tem uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais organizada:
2x - 5y + 2z = 0 x + y + z = 0 2x + 0y + kz = 0
Agora, vamos representar esse sistema em forma de matriz aumentada para facilitar o escalonamento:
2 & -5 & 2 & | & 0 1 & 1 & 1 & | & 0 2 & 0 & k & | & 0

Passo 3

Vamos começar a escalonar a matriz para encontrar suas soluções. O objetivo é deixar a matriz em uma forma onde possamos ver claramente as relações entre as variáveis.
  1. Primeira operação: Vamos trocar a primeira e a segunda linha para facilitar os cálculos.
1 & 1 & 1 & | & 0 2 & -5 & 2 & | & 0 2 & 0 & k & | & 0
  1. Segunda operação: Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda e da terceira linha para remover o 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & -7 & 0 & | & 0 0 & -2 & k-2 & | & 0 das linhas abaixo.
  • Segunda linha: , ,
  • Terceira linha: , ,
A matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos simplificar ainda mais a matriz para descobrir as possíveis soluções.
  1. Terceira operação: Vamos eliminar o 0 (-2) + (-2) = -4 (k-2) + 0 = k-2 | 0 da terceira linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & -7 & 0 & | & 0 0 & -4 & k-2 & | & 0 e somamos à terceira linha.
  • Segunda linha: , ,
  • Adicionando à terceira linha: , ,
Mas na verdade, há um erro aqui. O correto é multiplicar a segunda linha por e somar à terceira linha:
  • para o
  • para o
Assim, a terceira linha fica:
Então, a matriz simplificada é:
  1. Análise das soluções:
    • Se , a terceira equação vai determinar o valor de , resultando em uma solução única.
    • Se , ou seja, , a terceira equação se reduz a , indicando que há infinitas soluções.

Resposta

O sistema possui uma solução única para qualquer valor de diferente de 2. Quando , o sistema tem infinitas soluções.

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