Use o polinômio de Taylor de ordem 4 de cos (2 x) para calcular o exato valor do limite
lim x 0 1-cos (2 x)3 x^2

Passo 1

Então, você quer calcular o limite usando o polinômio de Taylor de ordem 4 da função . Isso envolve entender os polinômios de Taylor e como aplicá-los para simplificar expressões e encontrar limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma maneira de aproximar funções suaves usando polinômios. Para a função cos(z) approx 1 - z^22! + z^44! , o polinômio de Taylor de ordem 4 é:
cos(2x) approx 1 - (2x)^22! + (2x)^44!
Como no nosso caso a função é , substituímos por :

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo:
(2x)^2 = 4x^2
4x^22! = 4x^22 = 2x^2
(2x)^4 = 16x^4
16x^44! = 16x^424 = 23x^4
Então, o polinômio de Taylor de ordem 4 de cos(2x) approx 1 - 2x^2 + 23x^4 fica:

Passo 4

Substituindo esse polinômio na expressão do limite:
1 - cos(2x) approx 1 - (1 - 2x^2 + 23x^4) = 2x^2 - 23x^4
Agora, dividimos isso por 1 - cos(2x)3x^2 approx 2x^2 - 23x^43x^2 = 2x^23x^2 - 2x^49x^2 = 23 - 29x^2 :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando lim x 0 (23 - 29x^2) = 23 - 29(0) = 23 tende a 0:

Resposta

O limite é .

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