Calcule as seguintes antiderivadas:
integral sec ^2(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a antiderivada de sec^2(2x), que é um problema de cálculo envolvendo integrais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das regras básicas de integração de funções trigonométricas e usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a antiderivada de sec^2(x) é tan(x) + C, onde C é a constante de integração. Isso porque a derivada de tan(x) é sec^2(x). Agora, no seu problema, temos sec^2(2x) em vez de sec^2(x). Isso significa que nossa função está “esticada” por um fator de 2 dentro do argumento.

Passo 3

Para lidar com esse fator, vamos usar a substituição. Vamos deixar u = 2x. A derivada de u em relação a x é du/dx = 2, então dx = du2. Agora, substituímos na integral:
integral sec^2(2x) , dx = integral sec^2(u) cdot du2 = 12 integral sec^2(u) , du
Sabemos que integral sec^2(u) , du = tan(u) + C. Portanto:
12 integral sec^2(u) , du = 12 tan(u) + C = 12 tan(2x) + C

Resposta

A antiderivada de sec^2(2x) é 12 tan(2x) + C.

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