Demonstre usando a definição: (em termo de epsilon )
O lim x +infty 1x raizx=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar, usando a definição em termos de epsilon, que o limite de 1x raizx quando x tende ao infinito é 0. Ou seja, queremos mostrar que conforme x fica cada vez maior, essa expressão se aproxima de zero. Para resolver isso, vamos usar a definição formal de limite no infinito com epsilon.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa dizer que limx to +infty f(x) = L usando epsilon. Isso quer dizer que para qualquer número positivo epsilon, por menor que seja, conseguimos encontrar um valor X tal que para todo x > X, a diferença entre f(x) e L seja menor que epsilon. No nosso caso, L é 0 e f(x) = 1x raizx.

Passo 3

Então, queremos provar que para todo epsilon > 0, existe um X tal que se x > X, então:
| 1x raizx - 0 | < epsilon
Simplificando a expressão, temos:
1x raizx < epsilon

Passo 4

Vamos resolver essa inequação para encontrar x em termos de epsilon. Primeiro, note que x raizx = x^3/2. Portanto, a inequação fica:
1x^3/2 < epsilon
Para resolver para x, podemos inverter os dois lados da desigualdade (lembre-se que ao inverter uma inequação envolvendo frações positivas, a direção da desigualdade também inverte):
x^3/2 > 1epsilon

Passo 5

Agora, para isolar x, vamos elevar ambos os lados à potência de 23:
x > ( 1epsilon )^23
Isso nos dá o valor de X que precisamos para a definição de limite.

Passo 6

Então, para qualquer epsilon > 0, escolhemos:
X = ( 1epsilon )^23
Assim, para todo x > X, temos que 1x raizx < epsilon, o que confirma que o limite é realmente 0.

Resposta

Portanto, demonstramos que limx +infty 1x raizx = 0 usando a definição em termos de epsilon.

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