Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar, usando a definição em termos de , que o limite de quando tende ao infinito é . Ou seja, queremos mostrar que conforme fica cada vez maior, essa expressão se aproxima de zero. Para resolver isso, vamos usar a definição formal de limite no infinito com .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dizer que usando . Isso quer dizer que para qualquer número positivo , por menor que seja, conseguimos encontrar um valor tal que para todo , a diferença entre e seja menor que . No nosso caso, é e .
Passo 3
Então, queremos provar que para todo , existe um tal que se , então:
Simplificando a expressão, temos:
1x raizx < epsilon
Passo 4
Vamos resolver essa inequação para encontrar x em termos de epsilon. Primeiro, note que x raizx = x^3/2. Portanto, a inequação fica:
1x^3/2 < epsilon
Para resolver para x, podemos inverter os dois lados da desigualdade (lembre-se que ao inverter uma inequação envolvendo frações positivas, a direção da desigualdade também inverte):
x^3/2 > 1epsilon
Passo 5
Agora, para isolar x, vamos elevar ambos os lados à potência de 23:
x > ( 1epsilon )^23
Isso nos dá o valor de X que precisamos para a definição de limite.
Passo 6
Então, para qualquer epsilon > 0, escolhemos:
X = ( 1epsilon )^23
Assim, para todo x > X, temos que 1x raizx < epsilon, o que confirma que o limite é realmente 0.
Resposta
Portanto, demonstramos que limx +infty 1x raizx = 0 usando a definição em termos de epsilon.