Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função que é definida de duas maneiras diferentes: uma para quando não é e outra quando . Queremos descobrir a derivada parcial de em relação a , ou seja, , para todo no plano real. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e diferenciação de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caso onde f(x, y) = x^2 sin ((x^2+y^2)^2)x^2+y^2 . A função é dada por:
Para encontrar a derivada parcial em relação a , vamos aplicar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos chamar o numerador de fy = Uy V - U VyV^2 e o denominador de U = x^2 sin ((x^2+y^2)^2) . A derivada parcial de Uy = x^2 cos ((x^2+y^2)^2) cdot 2(x^2+y^2) cdot 2y = 4x^2 y (x^2+y^2) cos ((x^2+y^2)^2) em relação a V = x^2 + y^2 Rightarrow Vy = 2y é dada por:
Agora, vamos calcular e :
Calculando :
Aplicamos a regra da cadeia:
Calculando :
Passo 4
Substituindo fy = 4x^2 y (x^2+y^2) cos ((x^2+y^2)^2) (x^2+y^2) - x^2 sin ((x^2+y^2)^2) cdot 2y(x^2+y^2)^2 e fy = 4x^2 y (x^2+y^2)^2 cos ((x^2+y^2)^2) - 2x^2 y sin ((x^2+y^2)^2)(x^2+y^2)^2 na expressão de fy = 4x^2 y cos ((x^2+y^2)^2)1 - 2x^2 y sin ((x^2+y^2)^2)(x^2+y^2)^2 :
Simplificando:
Podemos simplificar mais dividindo termos:
Passo 5
Agora, vamos considerar o ponto fy(0,0) = limh to 0 f(0, h) - f(0,0)h = limh to 0 f(0, h)h . A função neste ponto é definida como f(0, h) = 0^2 sin ((0^2+h^2)^2)0^2+h^2 = 0 . Para encontrar fy(0,0) = limh to 0 0h = 0 , usamos a definição de derivada parcial:
Vamos calcular :
Então:
Resposta
A derivada parcial de fy(x, y) = 4x^2 y cos ((x^2+y^2)^2) - dfrac2x^2 y sin ((x^2+y^2)^2)(x^2+y^2)^2 & se (x, y) neq (0,0), 0 & se (x, y) = (0,0) em relação a é dada por: