Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem realmente calcular a integral. A desigualdade que temos é:
Então, vamos precisar entender como estimar essa integral usando limites inferiores e superiores das funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função dentro da integral:
. Sabemos que, para todo
no intervalo
,
é sempre positivo. Então:
Então, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Isso nos dá um limite inferior para a função.
Passo 3
Agora, vamos encontrar um limite superior para
no intervalo
. Sabemos que, para
:
Tirando a raiz quadrada:
Então, agora temos que:
Passo 4
Vamos integrar todas as partes dessa desigualdade do intervalo
:
Calculando cada integral:
- A integral de 1 de 0 a 1 é:
- A integral de
de 0 a 1 é:
Passo 5
Então, juntando tudo:
Mas o enunciado nos pede para verificar:
Comparando as duas desigualdades:
E
Passo 6
Vemos que a integral está limitada entre 1 e
, que aproximadamente é entre 1 e 1,4142. Enquanto a desigualdade proposta pelo enunciado está entre 2 e aproximadamente 2,8284.
Resposta
Portanto, a desigualdade dada:
não é válida, pois a integral está realmente entre 1 e