Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.
2 <= integral0^1 raiz1+x^2 d x <= 2 raiz2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem realmente calcular a integral. A desigualdade que temos é:
2 <= integral0^1 raiz1+x^2 , dx <= 2 raiz2
Então, vamos precisar entender como estimar essa integral usando limites inferiores e superiores das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função dentro da integral: raiz1 + x^2. Sabemos que, para todo x no intervalo [0, 1], x^2 é sempre positivo. Então:
x^2 >= 0 Rightarrow 1 + x^2 >= 1
Então, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
raiz1 + x^2 >= raiz1 = 1
Isso nos dá um limite inferior para a função.

Passo 3

Agora, vamos encontrar um limite superior para raiz1 + x^2 no intervalo [0, 1]. Sabemos que, para x <= 1:
x^2 <= 1 Rightarrow 1 + x^2 <= 2
Tirando a raiz quadrada:
raiz1 + x^2 <= raiz2
Então, agora temos que:
1 <= raiz1 + x^2 <= raiz2

Passo 4

Vamos integrar todas as partes dessa desigualdade do intervalo [0, 1]:
integral0^1 1 , dx <= integral0^1 raiz1 + x^2 , dx <= integral0^1 raiz2 , dx
Calculando cada integral:
- A integral de 1 de 0 a 1 é:
integral0^1 1 , dx = [x]0^1 = 1 - 0 = 1
  • A integral de raiz2 de 0 a 1 é:
integral0^1 raiz2 , dx = raiz2 cdot (1 - 0) = raiz2

Passo 5

Então, juntando tudo:
1 <= integral0^1 raiz1 + x^2 , dx <= raiz2
Mas o enunciado nos pede para verificar:
2 <= integral0^1 raiz1 + x^2 , dx <= 2 raiz2
Comparando as duas desigualdades:
1 <= integral0^1 raiz1 + x^2 , dx <= raiz2
E
2 <= integral0^1 raiz1 + x^2 , dx <= 2 raiz2

Passo 6

Vemos que a integral está limitada entre 1 e raiz2, que aproximadamente é entre 1 e 1,4142. Enquanto a desigualdade proposta pelo enunciado está entre 2 e aproximadamente 2,8284.

Resposta

Portanto, a desigualdade dada:
2 <= integral0^1 raiz1+x^2 , dx <= 2 raiz2
não é válida, pois a integral está realmente entre 1 e raiz2.

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