Qual é o valor de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de . Isso envolve o cálculo de um limite, que é um conceito importante em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre limites e, especificamente, sobre como lidar com expressões que parecem estar dando um “0/0”, o que chamamos de indeterminação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite: . Se substituirmos diretamente , teremos , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos encontrar outra maneira de calcular esse limite.

Passo 3

Uma maneira eficiente de resolver isso é usando a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a lidar com limites que resultam em formas indeterminadas como . A regra diz que se ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite de .

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital na nossa expressão, vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador: Se , então .
  • Derivada do denominador: Se , então .

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas na expressão original do limite:

Passo 6

Simplificando a expressão, temos:
Agora, como está se aproximando de 1, podemos substituir diretamente:

Resposta

O valor do limite é 2025.

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