Use o qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que tem aqui! Temos a série infinita e precisamos descobrir se ela converge absolutamente ou diverge. Para resolver isso, vamos utilizar o Teste da Razão. Esse teste é super útil para séries que envolvem fatorias, como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o fatorial. O fatorial de um número , representado por , é o produto de todos os números inteiros positivos até . Por exemplo, .
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que nos diz que, para uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge absolutamente; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos identificar na nossa série:
Agora, vamos encontrar :
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão:
Simplificando os fatoriais:
Sabemos que e . Então:
Simplificando, as partes e cancelam:
Ainda simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular esse limite. Expandindo os termos no numerador:
Então:
Dividindo todos os termos por :
À medida que tende ao infinito, os termos e tendem a zero:
Passo 6
Como o limite é maior que 1, segundo o Teste da Razão, a série diverge.