Use o qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.
sumn=1^infty (n-1)!(n+2)!

Passo 1

Beleza, vamos ver o que tem aqui! Temos a série infinita e precisamos descobrir se ela converge absolutamente ou diverge. Para resolver isso, vamos utilizar o Teste da Razão. Esse teste é super útil para séries que envolvem fatorias, como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o fatorial. O fatorial de um número L = limn to infty | an+1an | , representado por , é o produto de todos os números inteiros positivos até . Por exemplo, .
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que nos diz que, para uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge absolutamente; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar an = (n-1)!(n+2)! na nossa série:
an+1 = n!(n+3)!
Agora, vamos encontrar :

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | n!(n+3)! times (n+2)!(n-1)! |
Simplificando os fatoriais:
Sabemos que L = limn to infty n!(n+3)(n+2)(n+1)n! times (n+2)(n+1)n!(n-1)! e L = limn to infty 1(n+3) times (n+2)(n+1)1 . Então:
L = limn to infty (n+2)(n+1)n+3
Simplificando, as partes e cancelam:
Ainda simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular esse limite. Expandindo os termos no numerador:
(n+2)(n+1) = n^2 + 3n + 2
Então:
L = limn to infty n^2 + 3n + 2n + 3
Dividindo todos os termos por L = limn to infty n + 3 + 2n1 + 3n :
L = limn to infty n + 31 = infty
À medida que tende ao infinito, os termos e tendem a zero:

Passo 6

Como o limite é maior que 1, segundo o Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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