Use o qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.
sumn=1^infty n^n2^n^2

Passo 1

Vamos resolver a série para determinar se ela é absolutamente convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar o Teste da Raiz, que faz parte dos testes de convergência de séries infinitas.

Passo 2

O que é o Teste da Raiz?
O Teste da Raiz nos ajuda a determinar a convergência de uma série calculando o limite da raiz enésima do termo geral da série. A fórmula do teste é:
L = limn to infty raiz[n]|an|
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aplicando o Teste da Raiz na nossa série:
Vamos identificar o termo geral raiz[n]|an| = raiz[n]n^n2^n^2 = raiz[n]n^nraiz[n]2^n^2 e calcular sua raiz enésima:
raiz[n]n^n = n^nn = n
Simplificando cada parte:
raiz[n]2^n^2 = 2^n^2n = 2^n
raiz[n]|an| = n2^n
Então, temos:
L = limn to infty n2^n
Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty n2^n = 0 tende ao infinito:
Sabemos que cresce muito mais rápido que , então:

Passo 4

Interpretando o resultado do teste:
Como e , de acordo com o Teste da Raiz, a série é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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