Use o qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos resolver a série
para determinar se ela é absolutamente convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar o Teste da Raiz, que faz parte dos testes de convergência de séries infinitas.
Passo 2
O que é o Teste da Raiz?
O Teste da Raiz nos ajuda a determinar a convergência de uma série calculando o limite da raiz enésima do termo geral da série. A fórmula do teste é:
O Teste da Raiz nos ajuda a determinar a convergência de uma série calculando o limite da raiz enésima do termo geral da série. A fórmula do teste é:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Aplicando o Teste da Raiz na nossa série:
Vamos identificar o termo geral e calcular sua raiz enésima:
Vamos identificar o termo geral
Simplificando cada parte:
Então, temos:
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
cresce muito mais rápido que
, então:
Passo 4
Interpretando o resultado do teste:
Como e
, de acordo com o Teste da Raiz, a série
é absolutamente convergente.
Como
Resposta
A série
é absolutamente convergente.
Exercícios relacionados
Determine se a série é convergente ou divergente.
Circulação zero Seja
. Mostre que a circulação em sentido horário do campo
ao redor da circunferência
no plano
é zero:
Use o qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.
Enuncie o que deve valer a respeito de
para que valha