Calcule as integrais indepinidas abaixo
integral x^4 raiz5+x^5 d x

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a integral indefinida . Esse problema envolve cálculo de integrais usando substituição. Vamos precisar entender como fazer uma mudança de variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Vamos deixar . Isso porque a raiz está em termos de , e ao substituir isso por , a integral fica mais simples de resolver.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 5x^4 em relação a du = 5x^4 , dx . Temos:
x^4 , dx = du5
Isso significa que:
Então, isolando , temos:

Passo 4

Vamos substituir integral x^4 raiz5+x^5 , dx = integral raizu cdot du5 = 15 integral raizu , du e na integral original:
Agora, a integral ficou mais simples:

Passo 5

Vamos resolver a integral integral u^1/2 , du = u^3/232 + C = 23 u^3/2 + C . Sabemos que 15 cdot 23 u^3/2 + C = 215 u^3/2 + C , então usamos a regra da potência para integrar:
Multiplicando pelo fator que veio da substituição:

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo 215 (5 + x^5)^3/2 + C :

Resposta

A integral 215 (5 + x^5)^3/2 + C é igual a:

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