Resolva usando dois métodos diferentes e compare o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
A matéria que vamos usar aqui envolve resolver equações diferenciais usando métodos diferentes. Precisaremos identificar o tipo da equação e aplicar técnicas apropriadas para solucioná-la. Vamos precisar usar substituições que simplifiquem a equação e, possivelmente, verificar se ela é exata ou pode ser tornada exata.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Vamos reorganizar os termos:
Observamos que a equação pode ser simplificada. Podemos dividir numerador e denominador por :

Passo 3

Agora, vamos tentar identificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos são de mesmo grau quando expressos como funções de ou . Vamos verificar:
Se fizermos a substituição , então e .

Passo 4

Vamos aplicar a substituição na equação:
Simplificando, temos:

Passo 5

Isolando :
Podemos fatorar o numerador:

Passo 6

Agora, temos:
Essa forma ainda é um pouco complicada para resolver diretamente. Vamos tentar outra abordagem usando a primeira ordem de homogeneidade.

Passo 7

Outra maneira de resolver é assumindo que onde é uma constante. Substituindo na equação original:
Então, temos:

Passo 8

Resolvendo para :
Multiplicamos ambos os lados por :
Expandindo:
Leva a:
Então, ou .

Passo 9

Os valores de nos dão soluções particulares da equação diferencial:
  1. Para :
  2. Para :

Passo 10

Assim, as soluções gerais da equação diferencial são:

Resposta

As soluções da equação diferencial são:

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Use a regra da cadeia para achar se , com e . Resposta: .
Use a regra da cadeia para achar se , com e . Resposta: .
(a)
Ache a derivada total , usando a regra da cadeia:
e R.: