Resolva usando dois métodos diferentes e compare o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
A matéria que vamos usar aqui envolve resolver equações diferenciais usando métodos diferentes. Precisaremos identificar o tipo da equação e aplicar técnicas apropriadas para solucioná-la. Vamos precisar usar substituições que simplifiquem a equação e, possivelmente, verificar se ela é exata ou pode ser tornada exata.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Vamos reorganizar os termos:
Observamos que a equação pode ser simplificada. Podemos dividir numerador e denominador por
:
Passo 3
Agora, vamos tentar identificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos são de mesmo grau quando expressos como funções de
ou
. Vamos verificar:
Se fizermos a substituição
, então
e
.
Passo 4
Vamos aplicar a substituição
na equação:
Simplificando, temos:
Passo 5
Isolando
:
Podemos fatorar o numerador:
Passo 6
Agora, temos:
Essa forma ainda é um pouco complicada para resolver diretamente. Vamos tentar outra abordagem usando a primeira ordem de homogeneidade.
Passo 7
Outra maneira de resolver é assumindo que
onde
é uma constante. Substituindo na equação original:
Então, temos:
Passo 8
Resolvendo para
:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Expandindo:
Leva a:
Então,
ou
.
Passo 9
Os valores de
nos dão soluções particulares da equação diferencial:
- Para
: - Para
:
Passo 10
Assim, as soluções gerais da equação diferencial são:
Resposta
As soluções da equação diferencial são:
Exercícios relacionados
Use a regra da cadeia para achar
se
, com
e
. Resposta:
.
Use a regra da cadeia para achar
se
, com
e
. Resposta:
.
(a)
Ache a derivada total
, usando a regra da cadeia:
e
R.: