Use a regra da cadeia para calcular
em cada item abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a derivada de
em relação a
, ou seja,
, usando a regra da cadeia. A regra da cadeia é uma técnica fundamental em cálculo para derivar funções que são compostas por outras funções. Aqui, precisamos derivar
que depende de
e
, que por sua vez dependem de
. Vamos precisar das expressões de
,
e da relação entre
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar todas as equações que temos:
Nosso objetivo é encontrar
. Como
está definida de forma implícita em termos de
, vamos usar a derivada implícita junto com a regra da cadeia para encontrar essa derivada.
Passo 3
Vamos começar derivando ambos os lados da equação
em relação a
. Lembre-se que, para derivar
, usamos a regra da cadeia, que nos dá
.
Passo 4
Derivando ambos os lados:
Usando a regra do produto para derivar
:
Agora, derivamos
usando a regra da cadeia:
Então, substituindo de volta:
Agora, vamos organizar os termos para isolar
:
Fatorando
:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: