Use a regra da cadeia para calcular d/z dt em cada item abaixo: z = x * e^(y / z), x = t^2, y = 1 - t, z = 1 + 2 * t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a derivada de em relação a , ou seja, , usando a regra da cadeia. A regra da cadeia é uma técnica fundamental em cálculo para derivar funções que são compostas por outras funções. Aqui, precisamos derivar que depende de e , que por sua vez dependem de . Vamos precisar das expressões de , e da relação entre , e .

Passo 2

Primeiro, vamos anotar todas as equações que temos:
Nosso objetivo é encontrar . Como está definida de forma implícita em termos de , vamos usar a derivada implícita junto com a regra da cadeia para encontrar essa derivada.

Passo 3

Vamos começar derivando ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que, para derivar , usamos a regra da cadeia, que nos dá .

Passo 4

Derivando ambos os lados:
Usando a regra do produto para derivar :
Agora, derivamos usando a regra da cadeia:
Então, substituindo de volta:
Agora, vamos organizar os termos para isolar :
Fatorando :
Finalmente, isolamos :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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