Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(d)
,
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. Precisamos encontrar a derivada da função
. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica poderosa para derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as camadas da nossa função. Podemos ver que temos várias funções dentro de funções:
- Função externa:
, onde . - Segunda camada:
, onde . - Terceira camada:
. - Quarta camada:
, onde . - Quinta camada:
.
Isso mostra que nossa função é bem composta e precisamos aplicar a Regra da Cadeia múltiplas vezes.
Passo 3
Vamos começar derivando da função externa para a interna. A derivada de
em relação a
é
. Então, temos:
Aqui,
, então precisamos encontrar
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. Usamos a Regra da Cadeia novamente:
Isso porque a derivada de
é
(usamos a potência e a derivada da seno).
Passo 5
Seguimos para a próxima camada, onde
. A derivada de
em relação a
é:
Passo 6
Agora, juntando tudo usando a Regra da Cadeia:
Simplificando, temos:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
a)
a)
Mostre que a função
possui dois pontos onde sua tangente é horizontal.
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
f)
f)
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(h) ,
(h)