Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(d) ,

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. Precisamos encontrar a derivada da função . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica poderosa para derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as camadas da nossa função. Podemos ver que temos várias funções dentro de funções:
  1. Função externa: , onde .
  2. Segunda camada: , onde .
  3. Terceira camada: .
  4. Quarta camada: , onde .
  5. Quinta camada: .
Isso mostra que nossa função é bem composta e precisamos aplicar a Regra da Cadeia múltiplas vezes.

Passo 3

Vamos começar derivando da função externa para a interna. A derivada de em relação a é . Então, temos:
Aqui, , então precisamos encontrar .

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Usamos a Regra da Cadeia novamente:
Isso porque a derivada de é (usamos a potência e a derivada da seno).

Passo 5

Seguimos para a próxima camada, onde . A derivada de em relação a é:

Passo 6

Agora, juntando tudo usando a Regra da Cadeia:
Simplificando, temos:
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule, se existirem, os seguintes limites:
a)
Mostre que a função possui dois pontos onde sua tangente é horizontal.
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
f)
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(h) ,