Calcule, se existirem, os seguintes limites:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites, mais especificamente aos limites que envolvem potências e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar a definição do número de Euler,
, que é uma base muito importante em cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o número
pode ser definido por meio do limite:
Isso significa que quando
cresce sem parar, a expressão
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão do nosso exercício:
Perceba que temos um expoente que é
em vez de apenas
. Isso pode parecer um pouco diferente, mas podemos manipular essa expressão para relacioná-la com a definição de
.
Passo 4
Vamos reescrever a expressão usando propriedades de potências:
Ou seja, estamos elevando
à quinta potência.
Passo 5
Agora, aplicando o limite, temos:
Sabemos pelo passo 2 que
. Então, substituindo:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Mostre que a função
possui dois pontos onde sua tangente é horizontal.
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
g)
g)
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(d) ,
(d)
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
f)
f)