Calcule, se existirem, os seguintes limites:
a) lim x +infty(1+1x)^5 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites, mais especificamente aos limites que envolvem potências e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar a definição do número de Euler, , que é uma base muito importante em cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o número e = limx to +infty (1 + 1x)^x pode ser definido por meio do limite:
Isso significa que quando cresce sem parar, a expressão se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão do nosso exercício:
(1 + 1x)^5x
Perceba que temos um expoente que é em vez de apenas . Isso pode parecer um pouco diferente, mas podemos manipular essa expressão para relacioná-la com a definição de .

Passo 4

Vamos reescrever a expressão usando propriedades de potências:
(1 + 1x)^5x = [(1 + 1x)^x]^5
Ou seja, estamos elevando à quinta potência.

Passo 5

Agora, aplicando o limite, temos:
limx to +infty [(1 + 1x)^x]^5
Sabemos pelo passo 2 que [limx to +infty (1 + 1x)^x]^5 = e^5 . Então, substituindo:

Resposta

O limite é .

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