Mostre que a função possui dois pontos onde sua tangente é horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que a função tem dois pontos onde a tangente é horizontal. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. Basicamente, precisamos encontrar os pontos onde a derivada de é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Então, a função simplificada é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . Para :
Então, a derivada é .

Passo 4

Queremos encontrar onde a tangente é horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero, ou seja, . Portanto, vamos resolver a equação:

Passo 5

Resolvendo a equação :
Então, os valores de que tornam a derivada zero são e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes na função para e :
Para :
Para :

Resposta

A função possui duas tangentes horizontais nos pontos e .

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(d) ,