Nos Exercícios 1-8, encontre:
a. v cdot u,|v|,|u| ;
b. o cosseno do ângulo entre v e u;
c. o componente escalar de u na direção de v;
d. o vetor projv u.
  1. v=2 i-4 j+raiz5 k, u=-2 i+4 j-raiz5 k
  2. v=(3 / 5) i+(4 / 5) k, u=5 i+12 j
  3. v=10 i+11 j-2 k, u=3 j+4 k
  4. v=2 i+10 j-11 k, u=2 i+2 j+k
  5. v=5 j-3 k, u=i+j+k
  6. v=-i+j, u=raiz2 i+raiz3 j+2 k
  7. v=5 i+j, u=2 i+raiz17 j
  8. v=lang<=1raiz2, 1raiz3rang<=, u=lang<=1raiz2,-1raiz3rang<=

Passo 1

Vamos resolver o Exercício 1. Temos dois vetores:
v = 2,i - 4,j + raiz5,k, u = -2,i + 4,j - raiz5,k
O conteúdo que vamos precisar aqui envolve produtos vetoriais, normas de vetores, cosseno do ângulo entre vetores, componente escalar e projeção de vetores. Vamos passo a passo para encontrar cada item solicitado.

Passo 2

a. Cálculo de v cdot u = vx ux + vy uy + vz uz , v cdot u = (2)(-2) + (-4)(4) + (raiz5)(-raiz5) = -4 - 16 - 5 = -25 e |a| = raizax^2 + ay^2 + az^2 .
Primeiro, vamos calcular o produto escalar |v| = raiz2^2 + (-4)^2 + (raiz5)^2 = raiz4 + 16 + 5 = raiz25 = 5 . O produto escalar é dado por:
|u| = raiz(-2)^2 + 4^2 + (-raiz5)^2 = raiz4 + 16 + 5 = raiz25 = 5
Substituindo os valores:
Agora, vamos calcular as normas dos vetores e . A norma de um vetor é:
Para :
Para :

Passo 3

b. Cálculo do cosseno do ângulo entre costheta = v cdot u|v|,|u| e costheta = -255 times 5 = -2525 = -1 .
O cosseno do ângulo entre dois vetores é dado por:
Já calculamos e . Então:
Isso indica que o ângulo entre os vetores é , ou seja, eles estão em direções opostas.

Passo 4

c. Cálculo do componente escalar de Compv u = |u| costheta na direção de Compv u = 5 times (-1) = -5 .
O componente escalar de na direção de é dado por:
Já temos e . Então:

Passo 5

d. Cálculo do vetor projv u = ( v cdot uv cdot v ) v .
A projeção de projv u = ( -2525 ) v = -1 times v = -v na direção de projv u = - (2,i - 4,j + raiz5,k) = -2,i + 4,j - raiz5,k é dada por:
Já sabemos que e . Então:
Substituindo :

Resposta

a. , ,
b.
c.
d.

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