Use a regra da cadeia para determinar d/z dt ou d w / d t. z = x^2 * y + x * y^2, x = 2 + t^4, y = 1 - t^3

Passo 1

Então, temos um exercício de cálculo onde precisamos usar a regra da cadeia para encontrar a derivada de em relação a ( ). A função dada é , e as variáveis e são funções de : e . Vamos precisar da regra da cadeia e das derivadas básicas para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Ela nos permite encontrar a derivada de uma função composta. Neste caso, é uma função de e , que por sua vez são funções de . Então, para encontrar , precisamos calcular como muda em relação a e , e como e mudam em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para :
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 6

Agora, substituímos e pelas suas expressões em termos de :
Vamos calcular cada parte:
Primeiro, :
E depois, :

Passo 7

Vamos simplificar essas expressões:
Para :
Para :

Passo 8

Agora, substituímos de volta na expressão para :
Agora, vamos multiplicar os termos:
Primeira parte:
Segunda parte:

Passo 9

Agora, somamos todas as partes:
Combinando termos semelhantes:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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