Use a regra da cadeia para determinar
ou
.
Passo 1
Então, temos um exercício de cálculo onde precisamos usar a regra da cadeia para encontrar a derivada de
em relação a
(
). A função dada é
, e as variáveis
e
são funções de
:
e
. Vamos precisar da regra da cadeia e das derivadas básicas para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Ela nos permite encontrar a derivada de uma função composta. Neste caso,
é uma função de
e
, que por sua vez são funções de
. Então, para encontrar
, precisamos calcular como
muda em relação a
e
, e como
e
mudam em relação a
.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 6
Agora, substituímos
e
pelas suas expressões em termos de
:
Vamos calcular cada parte:
Primeiro,
:
E depois,
:
Passo 7
Vamos simplificar essas expressões:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na expressão para
:
Agora, vamos multiplicar os termos:
Primeira parte:
Segunda parte:
Passo 9
Agora, somamos todas as partes:
Combinando termos semelhantes:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: