Um objeto de massa
se move do tempo
ao
empo
com sua posição no tempo
dada pela função vetorial
Encontre a força total agindo sobre o objeto no instante
e calcule o trabalho feito pela força durante o intervalo de tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um objeto com massa
que se move de
até
segundo. A posição desse objeto no tempo
é dada pela função vetorial:
Aqui,
e
são constantes. Nosso objetivo é encontrar a força total agindo sobre o objeto no instante
e calcular o trabalho feito por essa força durante o intervalo de tempo de 0 a 1 segundo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, especificamente as relações entre posição, velocidade, aceleração e força, além da definição de trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade do objeto. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos cada componente da função de posição:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração do objeto, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Ou seja, a aceleração é constante e apenas na direção
.
Passo 4
Sabendo a aceleração, podemos encontrar a força total agindo sobre o objeto usando a segunda lei de Newton:
Substituindo a aceleração que encontramos:
Então, a força total é
, constante ao longo do tempo.
Passo 5
Agora, vamos calcular o trabalho realizado por essa força durante o intervalo de tempo de 0 a 1 segundo. O trabalho é dado pela integral da força aplicada ao longo do deslocamento:
Como a força é constante, podemos simplificar usando a fórmula:
Primeiro, vamos encontrar o deslocamento
:
Agora, calculamos o trabalho:
Resposta
A força total agindo sobre o objeto no instante
é
e o trabalho feito por essa força durante o intervalo de tempo de 0 a 1 segundo é
.