Um objeto de massa m se move do tempo t = 0 ao t empo t = 1 com sua posição no tempo t dada pela função vetorial
s(t) = α t i + β t^2 j, α, β constantes
Encontre a força total agindo sobre o objeto no instante t e calcule o trabalho feito pela força durante o intervalo de tempo [0,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um objeto com massa que se move de até segundo. A posição desse objeto no tempo é dada pela função vetorial:
Aqui, e são constantes. Nosso objetivo é encontrar a força total agindo sobre o objeto no instante e calcular o trabalho feito por essa força durante o intervalo de tempo de 0 a 1 segundo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, especificamente as relações entre posição, velocidade, aceleração e força, além da definição de trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do objeto. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos cada componente da função de posição:

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração do objeto, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Ou seja, a aceleração é constante e apenas na direção .

Passo 4

Sabendo a aceleração, podemos encontrar a força total agindo sobre o objeto usando a segunda lei de Newton:
Substituindo a aceleração que encontramos:
Então, a força total é , constante ao longo do tempo.

Passo 5

Agora, vamos calcular o trabalho realizado por essa força durante o intervalo de tempo de 0 a 1 segundo. O trabalho é dado pela integral da força aplicada ao longo do deslocamento:
Como a força é constante, podemos simplificar usando a fórmula:
Primeiro, vamos encontrar o deslocamento :
Agora, calculamos o trabalho:

Resposta

A força total agindo sobre o objeto no instante é e o trabalho feito por essa força durante o intervalo de tempo de 0 a 1 segundo é .

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