A figura abaixo mostra três caminhos de à . Calcule a integral de linha de
Figura 1: Os caminhos de à $(-1,0).
Sobre o caminho semi-circular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de um caminho semi-circular que vai de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha para campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar o caminho semi-circular. Vamos considerar que o semi-círculo está no semiplano superior. A parametrização será baseada em coordenadas polares. Podemos usar:
onde varia de a para cobrir o semi-círculo de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e para substituir na integral. Calculando:

Passo 4

A integral de linha para um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada por é dada por:
No nosso caso, e .

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
Simplificando:

Passo 6

Podemos resolver a integral usando substituição. Vamos fazer , então . Mudando os limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
A integral fica:

Passo 7

Agora, integrando termo a termo:
Calculando cada integral:
Então:

Resposta

A integral de linha do campo ao longo do caminho semi-circular de a é .

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