A figura abaixo mostra três caminhos de
à
. Calcule a integral de linha de
Figura 1: Os caminhos de
à $(-1,0).
Sobre o caminho semi-circular.
Sobre o caminho semi-circular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo de um caminho semi-circular que vai de
até
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha para campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar o caminho semi-circular. Vamos considerar que o semi-círculo está no semiplano superior. A parametrização será baseada em coordenadas polares. Podemos usar:
onde
varia de
a
para cobrir o semi-círculo de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
para substituir na integral. Calculando:
Passo 4
A integral de linha para um campo vetorial
ao longo de uma curva parametrizada por
é dada por:
No nosso caso,
e
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral, temos:
Simplificando:
Passo 6
Podemos resolver a integral usando substituição. Vamos fazer
, então
. Mudando os limites:
- Quando
, - Quando
,
A integral fica:
Passo 7
Agora, integrando termo a termo:
Calculando cada integral:
Então:
Resposta
A integral de linha do campo
ao longo do caminho semi-circular de
a
é
.
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Um objeto de massa
se move do tempo
ao
empo
com sua posição no tempo
dada pela função vetorial
Encontre a força total agindo sobre o objeto no instante
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.
Use a regra da cadeia para determinar
ou
.
Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais, sobre as curvas indicadas.
onde C é o círculo
.
Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais, sobre as curvas indicadas.
onde C é o quadrado com vértices
.