Use a Regra da Cadeia para determinar d z / d t ou d w / d t, ou ainda, para determinar partial z / partial s e partial z / partial t.
z=x^3 y^2+x y^3, x=2+t^3, y=1-t^2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para usar a Regra da Cadeia para determinar . Temos a função onde e . Vamos precisar da Regra da Cadeia para relacionar as derivadas de em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como depende de através de e . Para usar a Regra da Cadeia, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois multiplicar por as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de partial zpartial x = 3x^2 y^2 + y^3 :
partial zpartial y = 2x^3 y + 3x y^2
Essas derivadas nos mostram como muda quando ou mudam, mantendo a outra variável constante.

Passo 4

Agora, encontramos as derivadas de dxdt = 3t^2 e dydt = -2t em relação a :
Essas expressões indicam como e variam com .

Passo 5

Aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt :
dzdt = (3x^2 y^2 + y^3) cdot 3t^2 + (2x^3 y + 3x y^2) cdot (-2t)
Substituímos as derivadas encontradas nos passos anteriores:

Passo 6

Agora, substituímos as expressões de x = 2 + t^3 e y = 1 - t^2 em termos de dzdt = [3(2 + t^3)^2 (1 - t^2)^2 + (1 - t^2)^3] cdot 3t^2 + [2(2 + t^3)^3 (1 - t^2) + 3(2 + t^3)(1 - t^2)^2] cdot (-2t) :
Substituindo na expressão de :

Passo 7

Finalmente, simplificamos a expressão para obter :
Embora a expressão possa ser simplificada ainda mais, para fins de clareza e de acordo com o nível de estudo, podemos deixar a derivada nessa forma ou, se preferir, calcular para um valor específico de .

Resposta

A derivada de dzdt = [3(2 + t^3)^2 (1 - t^2)^2 + (1 - t^2)^3] cdot 3t^2 + [2(2 + t^3)^3 (1 - t^2) + 3(2 + t^3)(1 - t^2)^2] cdot (-2t) em relação a é:

Exercícios relacionados