Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
, ou ainda, para determinar
e
.
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para usar a Regra da Cadeia para determinar
. Temos a função
onde
e
. Vamos precisar da Regra da Cadeia para relacionar as derivadas de
em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar como
depende de
através de
e
. Para usar a Regra da Cadeia, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois multiplicar por as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
:
Essas derivadas nos mostram como
muda quando
ou
mudam, mantendo a outra variável constante.
Passo 4
Agora, encontramos as derivadas de
e
em relação a
:
Essas expressões indicam como
e
variam com
.
Passo 5
Aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar
:
Substituímos as derivadas encontradas nos passos anteriores:
Passo 6
Agora, substituímos as expressões de
e
em termos de
:
Substituindo na expressão de
:
Passo 7
Finalmente, simplificamos a expressão para obter
:
Embora a expressão possa ser simplificada ainda mais, para fins de clareza e de acordo com o nível de estudo, podemos deixar a derivada nessa forma ou, se preferir, calcular para um valor específico de
.
Resposta
A derivada de
em relação a
é: