Classifique, se possível, as sequências abaixo quanto à sua monotonicidade.
(g) u_n = 1 / (n + ln n)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a sequência e precisamos determinar se essa sequência é monótona, ou seja, se ela está sempre aumentando, sempre diminuindo ou se não segue nenhum padrão específico. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser crescente ou decrescente e como comparar termos consecutivos da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma sequência é chamada crescente se, para todo , , e decrescente se, para todo , . Vamos comparar o termo geral com o próximo termo .

Passo 3

Calculando :
Agora, comparamos com :
Isso acontece porque, ao aumentar , tanto quanto aumentam, fazendo com que o denominador fique maior e, consequentemente, o valor da fração fique menor.

Passo 4

Como vimos que para todo , isso significa que cada termo da sequência é menor que o anterior. Portanto, a sequência está sempre diminuindo.

Resposta

A sequência é decrescente para todo pertencente aos números naturais.

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