Calcule a massa da superfície x^2 + y^2 - z^2 = 0, 1 <= z <= 3 cuja densidade de massa é dada por rho(x, y, z) = raiz(x^2 + y^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a massa de uma superfície definida pela equação no intervalo . A densidade nessa superfície é dada por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria da superfície. A equação representa um cone duplo (um de cima para baixo). Como estamos considerando apenas , vamos trabalhar apenas com a parte do cone que está acima do plano até .

Passo 3

Para calcular a massa, precisamos integrar a densidade sobre a superfície. A fórmula geral para a massa de uma superfície é:
Onde é o elemento de área na superfície.

Passo 4

Vamos usar coordenadas cilíndricas porque a simetria do cone facilita os cálculos. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Aqui, vem da equação do cone .

Passo 5

Agora, precisamos expressar o elemento de área na forma de coordenadas cilíndricas. A fórmula para em um superfícies definida por é:
No nosso caso, , então . Assim, o elemento de área fica:

Passo 6

A densidade é dada por . Substituindo na fórmula da massa:

Passo 7

Agora, definimos os limites de integração. Para entre e , como , isso significa que varia de a . E varia de a para cobrir todo o círculo.
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos resolver a integral interna primeiro, com relação a :

Passo 9

Agora, a integral externa com relação a :

Passo 10

Calculando os valores numéricos:

Resposta

A massa da superfície é aproximadamente unidades de massa.

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