Calcule a massa da superfície
cuja densidade de massa é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a massa de uma superfície definida pela equação
no intervalo
. A densidade nessa superfície é dada por
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria da superfície. A equação
representa um cone duplo (um de cima para baixo). Como estamos considerando apenas
, vamos trabalhar apenas com a parte do cone que está acima do plano
até
.
Passo 3
Para calcular a massa, precisamos integrar a densidade sobre a superfície. A fórmula geral para a massa
de uma superfície
é:
Onde
é o elemento de área na superfície.
Passo 4
Vamos usar coordenadas cilíndricas porque a simetria do cone facilita os cálculos. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Aqui,
vem da equação do cone
.
Passo 5
Agora, precisamos expressar o elemento de área
na forma de coordenadas cilíndricas. A fórmula para
em um superfícies definida por
é:
No nosso caso,
, então
. Assim, o elemento de área fica:
Passo 6
A densidade é dada por
. Substituindo na fórmula da massa:
Passo 7
Agora, definimos os limites de integração. Para
entre
e
, como
, isso significa que
varia de
a
. E
varia de
a
para cobrir todo o círculo.
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna primeiro, com relação a
:
Passo 9
Agora, a integral externa com relação a
:
Passo 10
Calculando os valores numéricos:
Resposta
A massa da superfície é aproximadamente
unidades de massa.