Use a Regra da Cadeia para encontrar d/z dt (ou d w / d t.)
(a) z = x^2 + y^2 + x*y, x = sen(t), y = e^t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada de em relação ao tempo . O enunciado nos dá:
com
Então, vamos precisar saber como derivar funções compostas usando a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que depende de e , e ambos e dependem de . Para achar , a Regra da Cadeia diz que a gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois multiplicar pelas derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Isso porque, derivando em relação a , tratamos como constante, e vice-versa.

Passo 4

Agora, vamos derivar e em relação a :
Derivamos para e permanece .

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 6

Agora, vamos substituir e na expressão:

Passo 7

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico das funções abaixo no ponto especificado.
z = x sen(x+y),(-1,1,0).
(q) lim x 1 raizx+1-raiz2raiz7-raiz5 x+2.
© Em quais pontos c existe apenas o limite à esquerda lim x c^- f(x) ?
(d) lim x -infty e^x cos (1x).