(q) lim x 1 raizx+1-raiz2raiz7-raiz5 x+2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular . Esse problema entra na área de Cálculo de Limites, e vamos precisar usar uma técnica chamada Regra de L’Hospital para resolver. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece se substituirmos raiz1+1 - raiz2 = raiz2 - raiz2 = 0 diretamente na expressão.
No numerador:
raiz7 - raiz5 cdot 1 + 2 = raiz7 - raiz7 = 0
No denominador:
Então, ao substituir , obtemos a forma indeterminada . Isso significa que precisamos aplicar a Regra de L’Hospital para encontrar o limite.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se temos um limite da forma lim x a f(x)g(x) = lim x a f'(x)g'(x) ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite desses novos termos. Ou seja:

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador da nossa expressão original.
Derivada do numerador f(x) = raizx+1 Rightarrow f'(x) = 12raizx+1 :
g(x) = raiz5x+2 Rightarrow g'(x) = 52raiz5x+2
A derivada de é 0, já que é uma constante.
Derivada do denominador :
A derivada de é 0.

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas:
lim x 1 12raizx+1-52raiz5x+2 = lim x 1 12raizx+1 cdot 2raiz5x+2-5

Passo 6

Simplificamos a expressão:
12raizx+1 cdot 2raiz5x+2-5 = raiz5x+2-5raizx+1

Passo 7

Agora, substituímos raiz5 cdot 1 + 2-5raiz1+1 = raiz7-5raiz2 = -raiz75raiz2 na expressão simplificada:

Passo 8

Podemos racionalizar o denominador para deixar a expressão mais “limpa” multiplicando numerador e denominador por -raiz75raiz2 cdot raiz2raiz2 = -raiz1410 :

Resposta

O limite é .

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