(q)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular
. Esse problema entra na área de Cálculo de Limites, e vamos precisar usar uma técnica chamada Regra de L’Hospital para resolver. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece se substituirmos
diretamente na expressão.
No numerador:
No denominador:
Então, ao substituir
, obtemos a forma indeterminada
. Isso significa que precisamos aplicar a Regra de L’Hospital para encontrar o limite.
Passo 3
A Regra de L’Hospital diz que se temos um limite da forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite desses novos termos. Ou seja:
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador da nossa expressão original.
Derivada do numerador
:
A derivada de
é 0, já que é uma constante.
Derivada do denominador
:
A derivada de
é 0.
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas:
Passo 6
Simplificamos a expressão:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Passo 8
Podemos racionalizar o denominador para deixar a expressão mais “limpa” multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
O limite é
.