Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico das funções abaixo no ponto especificado. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto especificado . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície em um ponto é um plano que “toca” a superfície naquele ponto e tem a mesma inclinação da superfície ali. Para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais da função em relação a e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de .
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Para :
Para :
Passo 5
Com as derivadas parciais em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é .
Passo 6
Agora, vamos encontrar a reta normal ao gráfico no ponto . A reta normal é paralela ao vetor normal ao plano tangente. Esse vetor normal pode ser representado pelas derivadas parciais .
Usando os valores que encontramos:
A equação paramétrica da reta normal é então:
Onde são as componentes do vetor normal, e é o parâmetro.
Substituindo:
Resposta
A equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto é .
A equação paramétrica da reta normal nesse ponto é: