A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por a(t) = 2 cos(4 t) + t.
(j) Uma segunda partícula desloca-se ao longo do mesmo eixo com uma velocidade como função do tempo dada por v(t) = 1/2 t^2 - 1/4 cos(4t + pi/2) + 3/4. Em que instantes de tempo, as partículas tem acelerações são iguais?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas partículas que se movem ao longo de um eixo. A primeira partícula tem uma aceleração que depende do tempo, dada por . A segunda partícula tem uma velocidade que também depende do tempo, dada por . Queremos descobrir em quais instantes de tempo as acelerações das duas partículas são iguais. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a aceleração a partir da velocidade e depois igualar as duas expressões de aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para a segunda partícula, vamos derivar para encontrar .
A velocidade da segunda partícula é:
Derivando termo a termo:

Passo 3

Calculando cada derivada:
Então:

Passo 4

Agora que temos as duas expressões de aceleração:
  • Para a primeira partícula:
  • Para a segunda partícula:
Queremos encontrar os instantes em que . Então, vamos igualar as duas equações:

Passo 5

Simplificando a equação:
Sabemos que , então:

Passo 6

Subtraindo de ambos os lados:
Agora, precisamos encontrar os valores de que satisfazem .

Passo 7

A função cosseno é igual a zero nos pontos onde seu argumento é , onde é qualquer número inteiro. Então:

Resposta

As duas partículas têm acelerações iguais nos instantes de tempo dados por:
éú

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