A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por
.
(j) Uma segunda partícula desloca-se ao longo do mesmo eixo com uma velocidade como função do tempo dada por
. Em que instantes de tempo, as partículas tem acelerações são iguais?
(j) Uma segunda partícula desloca-se ao longo do mesmo eixo com uma velocidade como função do tempo dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas partículas que se movem ao longo de um eixo. A primeira partícula tem uma aceleração que depende do tempo, dada por
. A segunda partícula tem uma velocidade que também depende do tempo, dada por
. Queremos descobrir em quais instantes de tempo as acelerações das duas partículas são iguais. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a aceleração a partir da velocidade e depois igualar as duas expressões de aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para a segunda partícula, vamos derivar
para encontrar
.
A velocidade da segunda partícula é:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Calculando cada derivada:
Então:
Passo 4
Agora que temos as duas expressões de aceleração:
- Para a primeira partícula:
- Para a segunda partícula:
Queremos encontrar os instantes
em que
. Então, vamos igualar as duas equações:
Passo 5
Simplificando a equação:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem
.
Passo 7
A função cosseno é igual a zero nos pontos onde seu argumento é
, onde
é qualquer número inteiro. Então:
Resposta
As duas partículas têm acelerações iguais nos instantes de tempo dados por:
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