Use a a regra da substituição para calcular as integrais abaixo:
e) integral 1x^2(1+1x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para usar a regra da substituição para calcular a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a substituição. Observe que 1x^2(1+1x)^2 = 1x^2(x + 1x)^2 = 1x^2 cdot (x + 1)^2x^2 = x^2x^2(x + 1)^2 = 1(x + 1)^2 pode ser reescrito como . Então, temos:

Passo 3

Agora, nossa integral ficou mais simples:
integral 1(x + 1)^2 dx
Vamos usar a substituição . Assim, a derivada de em relação a é , o que significa que .

Passo 4

Substituindo na integral:
integral 1u^2 du
Sabemos que , onde é a constante de integração, desde que .

Passo 5

Aplicando a regra:
integral u^-2 du = u^-2 + 1-2 + 1 + C = u^-1-1 + C = -1u + C

Passo 6

Agora, substituímos -1x + 1 + C de volta:

Resposta

A integral é igual a .

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