Use a a regra da substituição para calcular as integrais abaixo:
b) integral cos (x) sin (x)^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a regra da substituição. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com técnicas de integração. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integração. Observando a integral , percebemos que a derivada de é , o que sugere que podemos usar a substituição .

Passo 3

Fazendo a substituição dudx = cos(x) Rightarrow du = cos(x) , dx , calculamos a derivada de em relação a :
Isso significa que pode ser substituído por na integral.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral cos(x) sin^4(x) , dx = integral u^4 , du
Agora, a integral ficou mais simples, apenas em termos de .

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^4 , du = u^55 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u^55 + C = sin^5(x)5 + C de volta por :

Resposta

A integral é igual a .

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