Use (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e © de a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor n especificado. (Arredonde seu resultado para seis casas decimais.)
7. integral1^2 raizx^3-1 d x, n=10

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para aproximar a integral utilizando três métodos diferentes: a Regra do Trapézio, a Regra do Ponto Médio e a Regra de Simpson. O valor de especificado é 10, o que significa que vamos dividir o intervalo em 10 partes iguais. Para resolver isso, precisaremos conhecer as fórmulas de cada método e calcular os valores necessários passo a passo.

Passo 2

A) Regra do Trapézio
A Regra do Trapézio aproxima a integral dividindo a área sob a curva em trapézios e somando suas áreas. A fórmula é:
T = h2 [ f(x0) + 2 sumi=1^n-1 f(xi) + f(xn) ]
Onde:
  • h = 2 - 110 = 0,1 é o tamanho de cada subintervalo.
  • c|c i & xi = 1 + 0,1i hline 0 & 1,0 1 & 1,1 2 & 1,2 3 & 1,3 4 & 1,4 5 & 1,5 6 & 1,6 7 & 1,7 8 & 1,8 9 & 1,9 10 & 2,0 são os pontos de divisão.
  • c|c i & f(xi) hline 0 & 0,000000 1 & 0,575 2 & 0,853 3 & 1,094 4 & 1,320 5 & 1,541 6 & 1,760 7 & 1,978 8 & 2,198 9 & 2,419 10 & 2,645750 é a função que estamos integrando.
Calculando passo a passo:
  1. Determinar T = 0,12 [ 0 + 2(0,575 + 0,853 + 1,094 + 1,320 + 1,541 + 1,760 + 1,978 + 2,198 + 2,419) + 2,645750 ] :
    0,575 + 0,853 + 1,094 + 1,320 + 1,541 + 1,760 + 1,978 + 2,198 + 2,419 = 13,738
  2. Calcular os pontos T = 0,05 times (0 + 2 times 13,738 + 2,645750) = 0,05 times 30,121750 = 1,506088 e :
    Calculando :
  3. Aplicar a fórmula da Regra do Trapézio:
    Calculando a soma interna:
    Então:

Passo 3

B) Regra do Ponto Médio
A Regra do Ponto Médio aproxima a integral calculando a área de retângulos cujo comprimento é igual ao tamanho do subintervalo e a altura é a função avaliada no ponto médio de cada subintervalo. A fórmula é:
M = h sumi=1^n f( xi-1 + xi2 )
Calculando passo a passo:
  1. Determinar h = 0,1 :
    c|c i & mi = 1 + (i - 0,5) cdot 0,1 hline 1 & 1,05 2 & 1,15 3 & 1,25 4 & 1,35 5 & 1,45 6 & 1,55 7 & 1,65 8 & 1,75 9 & 1,85 10 & 1,95
  2. Calcular os pontos médios c|c i & f(mi) hline 1 & 0,397 2 & 0,721 3 & 0,97628 4 & 1,2084 5 & 1,43178 6 & 1,6465 7 & 1,8700 8 & 2,0870 9 & 2,3050 10 & 2,5240 e M = 0,1 times (0,397 + 0,721 + 0,97628 + 1,2084 + 1,43178 + 1,6465 + 1,8700 + 2,0870 + 2,3050 + 2,5240) = 0,1 times 15,167 approx 1,516700 :
    Calculando :
  3. Aplicar a fórmula da Regra do Ponto Médio:

Passo 4

C) Regra de Simpson
A Regra de Simpson aproxima a integral ajustando uma parábola para cada par de subintervalos e somando suas áreas. A fórmula é:
S = h3 [ f(x0) + 4 sumi=1,3,5,dots^n-1 f(xi) + 2 sumi=2,4,6,dots^n-2 f(xi) + f(xn) ]
Calculando passo a passo:
  1. Determinar h = 0,1 :
    S = 0,13 times (0 + 4 times 7,607 + 2 times 6,131 + 2,645750) = 0,13 times 45,335750 approx 1,511190
  2. Identificar os termos para os somatórios:
    • Somatório com coeficiente 4:
    • Somatório com coeficiente 2:
  3. Aplicar a fórmula da Regra de Simpson:

Resposta

(a) Regra do Trapézio:
(b) Regra do Ponto Médio:
© Regra de Simpson:

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