Use as regras de derivação para determinar as derivadas das funções abaixo.
a) f(z)=5 z^4-i z^3+(8-i) z^2-6 i

Passo 1

Beleza, temos que encontrar a derivada da função . Vamos usar as regras de derivação do cálculo, especificamente a regra do poder, que nos ajuda a derivar funções polinomiais. Vamos precisar lembrar como derivar cada termo separadamente aplicando essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar o termo ddz(5 z^4) = 5 times 4 z^4-1 = 20 z^3 . A regra do poder diz que a derivada de é . Então, aplicando isso:

Passo 3

Agora, vamos derivar o termo ddz(-i z^3) = -i times 3 z^3-1 = -3i z^2 . Usamos a mesma regra:

Passo 4

Em seguida, derivamos o termo ddz((8 - i) z^2) = (8 - i) times 2 z^2-1 = 2(8 - i) z = (16 - 2i) z :

Passo 5

Por fim, temos o termo constante ddz(-6i) = 0 . A derivada de uma constante é zero:

Resposta

Juntando todas as derivadas que encontramos, a derivada da função f'(z) = 20 z^3 - 3i z^2 + (16 - 2i) z é:

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, sabe-se que os limites existem. Calcule-os.
a) lim z i(4 z^3-5 z^2+4 z+1-5 i)
Expresse a função indicada na forma f(z)=u+i v.
b) f(z)=3 barz^2+2 z
Determine os pontos nos quais a função indicada não será analítica.
b) f(z)=2 iz^2-2 z+5 i z
Nos itens abaixo, mostre que a função indicada não é analítica em nenhum lugar.
a) f(z)=Re(z)